中考数学@常考模型专练 模型二倍长中线模型 方法解读 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅 助线. 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法. 【方法精讲】如图 1，在△ 中， 是 边上的中线. 方式 1：如图 2，延长 到 ，使 = ，连接 . 方式 2（间接倍长）：①如图 3，作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 交 的延长线于 . ②如图 4，在 上任取一点 ，连接 ，延长 到 ，使 = ，连接 . 1．倍长中线的关键在于倍长某条线段（被延长的线段 要满足两个条件：①线段 一个端点是 图中一条线段 的中点；②线段 与线段 不共线），然后进行连接，构造全等三角形，再进一 步将某些线段进行等量代换，证明全等或其他的结论，从而解决问题. 【应用举例】如图 1，已知 为△ 的中线，求证： + > 2 .（无需作答） 简证：如图 2，延长 到 ，使得 = ，连接 ，易证△ ≌△ ，得 =_____， 在△ 中， + >_____，即 + > 2 . 【问题解决】（1）如图 3，在△ 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 = ， 延长 交 于 ，求证： = ； 6/43 中考数学@常考模型专练 （2）如图 4，在△ 中，∠ = 90 ， 是 边的中点， 、 分别在边 、 上， ⊥ ， 若 = 3， = 4，求 的长； （3）如图 5， 是△ 的中线， = ， = ，且∠ = ∠ = 90 ，请直接写 出 与 的数量关系及位置关系. 2．【观察发现】如图①，△ 中， = 7， = 5，点 为 的中点，求 的取值范围. 小明的解法如下：延长 到点 ，使 = ，连接 . = , 在△ 与△ 中，{∠ = ∠ , ∴△ ≌△ (SAS)，∴ =_____. = , 又∵在△ 中， < < + ， = = 7， = 5，∴____< <____. 又∵ = 2 ，∴____< <____. 【探索应用】如图②， // ， = 25， = 8，点 为 的中点，∠ = ∠ ，则 的长为____. 【应用拓展】如图③，∠ = 60 ，∠ = 120 ， = ， = ，连接 ， 为 的 中点，求证： ⊥ . 7/43 中考数学@常考模型专练 3．有公共顶点 的正方形 与正方形 按如图 1 所示的方式放置，点 ， 分别在边 和 上，连接 ， ， 是 的中点，连接 交 于点 . 【观察猜想】 （1）线段 与 之间的数量关系是_____，位置关系是_____. 【探究证明】 （2）将图 1 中的正方形 绕点 顺时针旋转45 ，点 恰好落在边 上，如图 2，其他条件 不变，线段 与 之间的关系是否仍然成立？并说明理由. 8/43中考数学@常考模型专练 模型二 倍长中线模型 方法解读 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅 助线. 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法. 【方法精讲】如图 1，在△ 中， 是 边上的中线. 方式 1：如图 2，延长 到 ，使 = ，连接 . 方式 2（间接倍长）：①如图 3，作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 交 的延长线于 . ②如图 4，在 上任取一点 ，连接 ，延长 到 ，使 = ，连接 . 1．倍长中线的关键在于倍长某条线段（被延长的线段 要满足两个条件：①线段 一个端点是 图中一条线段 的中点；②线段 与线段 不共线），然后进行连接，构造全等三角形，再进一 步将某些线段进行等量代换，证明全等或其他的结论，从而解决问题. 8/96 中考数学@常考模型专练 【应用举例】 如图 1，已知 为△ 的中线，求证： + > 2 .（无需作答） 简证：如图 2，延长 到 ，使得 = ，连接 ，易证△ ≌△ ，得 =_____， 在△ 中， + >_____，即 + > 2 . 答案：CE；AE 【问题解决】 （1）如图 3，在△ 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 = ，延长 交 于 ，求证： = ； 证明：如图 1，延长 到 ，使得 = ，连接 ，易证△ ≌△ ，∴ = ，∠ = ∠ ， ∵ = ，∴ = ，∴ ∠ = ... ...
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