中考数学@常考模型专练 模型九利用垂线段最短求最值 类型 1 垂线段最短 1．如图，线段 = 8，点 是线段 上的动点，将线段 绕点 顺时针旋转120 得到线段 ， 连接 ，在 的上方作Rt △ ，使∠ = 90 ，∠ = 30 ，点 为 的中点，连接 ， 当 的值最小时，△ 的面积为____. 2．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角 互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题： 如图 1，△ 中， = ，∠ = (60 < < 180 ).点 是 边上的一动点（点 不与 ， 重合），将线段 绕点 顺时针旋转 到线段 ，连接 . 图 1 图 2 图 3 （1）求证： ， ， ， 四点共圆； （2）如图 2，当 = 时，⊙ 是四边形 的外接圆，求证： 是⊙ 的切线； （3）如图 3，已知 = 120 ， = 6，点 是边 的中点，此时⊙ 是四边形 的外接圆， 直接写出圆心 与点 距离的最小值. 28/43 中考数学@常考模型专练 类型 2“胡不归”问题 方法解读 在求最值的问题中，常见的是求某条线段长度的最值，或 ± 的最值，除此之外我们还会 遇到求形如 + 的最值，此类问题一般又分为两类：①“胡不归”问题；②阿氏圆问题. 【“胡不归”问题背景】从前有个少年外出求学，某天得知老父亲病危，便立即赶路回家，根据 “两点之间线段最短”，虽然从他此刻的位置 到家 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归 途，当赶到家时，老父亲刚咽了气，少年追悔莫及失声痛哭， 邻居告诉少年，他父亲弥留之际不断念叨着：“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”） 如图，如果少年先沿着驿道 走一段(不妨设走到点 )，再走砂石地，能不能更早到家？ 【问题探究】走驿道的速度比走砂石地的速度更快，设走驿道的速度为 ，走砂石地的速度为 ，则 > ，求最短时间，即为求 + 的最小值，那么何时 + 的值最小呢？ 1 1 【问题解决】对 + 变形处理，得 ( + )，因为 ， 是定值，所以问题转化为求 ( + )的最小值.因此需要在图中构造出长度为 的替换线段. 我们在驿道(直线 )下方作一条射线 ，使得sin∠ = ，过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 1 sin∠ = ，则 = ，原问题转化为当点 在什么位置时， ( + )取最小值，显然 根据垂线段最短，过点 作 的垂线,垂足为 ，与 交于点 ′，则 ′即为所求, 为 + 的 最小值. 29/43 中考数学@常考模型专练 3．如图，在菱形 中， = = 10，对角线 、 相交于点 ，点 在线段 上，且 1 = 3，点 为线段 上的一个动点，则 + 的最小值是_____. 2 4 4．如图，在△ 中， = 5， = 4，sin = ， ⊥ 交 于点 .点 为线段 上的 5 3 动点，求 + 的最小值. 5 30/43中考数学@常考模型专练 模型九 利用垂线段最短求最值 类型 1 垂线段最短 1．如图，线段 = 8，点 是线段 上的动点，将线段 绕点 顺时针旋转120 得到线段 ， 连接 ，在 的上方作Rt △ ，使∠ = 90 ，∠ = 30 ，点 为 的中点，连接 ， 当 的值最小时，△ 的面积为____. 答案：√3 解析：连接 ， ， 与 交于点 ，如图， ∵ ∠ = 90 ，点 为 的中点， ∴ = ， ∵ ∠ = 30 ，∴ ∠ = 60 ， ∴△ 是等边三角形， ∴ ∠ = ∠ = 60 ， 由旋转得 = ， ∵ = ，∴ 垂直平分 ， ∴ ∠ = ∠ = 60 ， ∴点 在射线 上运动， ∴当 ⊥ 时， 的值最小， 此时∠ = 90 ∠ = 30 ， 1 ∴ = = 4， 2 1 易知∠ = ∠ = 30 ， 2 ∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 90 ， 58/96 中考数学@常考模型专练 1 ∴ = = 2， 2 1 易知 = = 1， 2 ∴由勾股定理得 = √ 2 2 = √3， ∴ = 2 = 2√3， 1 1 ∴ △ = = × 2√3 × 1 = √3. 2 2 2．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角 互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题： 如图 1，△ 中， = ，∠ = (60 < < 180 ).点 是 边上的一动点（点 ... ...
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