中考数学模型常考专练模型七：半角模型（PDF，含答案）

中考数学@常考模型专练 模型七 半角模型 方法解读 识别：一个大角内有一个和它共顶点，且大小是它一半的小角.如图，∠ = 2 . 作法：以公共顶点为旋转中心，将其余两小角旋转到一起，构造全等三角形.如图，把△ 绕 点 旋转得到△ ，连接 ,得△ ≌△ (SAS). 应用：全等的边、角性质. 类型 1 正方形含半角 1．如图，正方形 中，∠ 的两边分别与边 ， 交于点 ， ， ， 分别交 于 点 ， ，且∠ = 45 . （1）当∠ = 55 时，求∠ 的度数； （2）设∠ = ，则∠ =_____（用含 的代数式表示）； （3）求证：∠ = ∠ . 答案： （1）解:∵四边形 为正方形， ∴ ∠ = ∠ = 90 ， 当∠ = 55 时，∠ = 90 ∠ = 90 55 = 35 ， ∴ ∠ = 90 ∠ ∠ = 90 45 35 = 10 . （2）解：135 . （3）证明：将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ， 45/96 中考数学@常考模型专练 易得 ， ， 三点共线， 由旋转可知∠ = ∠ ， = ， ∵ ∠ + ∠ = 90 ∠ = 45 ， ∴ ∠ + ∠ = 45 = ∠ ， 又∵ = , ∴△ ≌△ (SAS). ∴ ∠ = ∠ . 2．[2025安徽]已知点 ′在正方形 内，点 在边 上， 是线段 ′的垂直平分线，连 接 ′ ， ′ . （1）如图 1，若 ′的延长线经过点 ， = 1，求 的长. （2）如图 2，点 是 ′的延长线与 的交点，连接 ′. （ⅰ）求证：∠ ′ = 45 ； （ⅱ）如图 3，设 ， 相交于点 ，连接 ， ， ′，若 = ，判断△ ′ 的形状， 并说明理由. 答案： （1）解:由垂直平分线的性质知, ′ = = 1, ′ = ,又因为 = , 所以△ ′ ≌△ ,所以∠ ′ = ∠ = 90 . 又因为∠ = 45 ,所以△ ′ 是等腰直角三角形, 所以 = √2 ′ = √2，因为四边形 是正方形，所以 = = + = 1 + √2. （2）（ⅰ）证明:由题意知 = ′ = ,故∠ ′ = ∠ ′ ,∠ ′ = ∠ ′ ，所以∠ ′ = 1 1 1∠ ′ + ∠ ′ = (180 ∠ ′) + (180 ∠ ′) = 180 (∠ ′ + ∠ ′) = 2 2 2 180 45 = 135 ， 所以∠ ′ = 180 ∠ ′ = 45 . 46/96 中考数学@常考模型专练 （ⅱ）解:△ ′ 是等腰直角三角形.理由如下: 设∠ = ,则∠ = 90 . 因为 = ,所以∠ = 180 2∠ = 2 . 因为△ ′ ≌△ ,所以∠ ′ = ∠ = ,所以∠ ′ = 90 2 . 因为 ′ = = ,所以∠ ′ = ∠ ′ . 所以2∠ ′ = 180 ∠ ′ = 90 + 2 ,所以∠ ′ = 45 + . 所以∠ ′ = ∠ ′ ∠ = 45 . 故∠ ′ = 90 ∠ ′ = 45 = ∠ ′, 又因为 ′ = ′ , = = , 所以△ ′ ≌△ ′ . 所以 ′ = ′,∠ ′ = ∠ ′ . 由(i)知∠ ′ = 180 ∠ ′ = 135 ,所以∠ ′ = 360 2∠ ′ = 90 . 又因为 ′ = ′,所以△ ′ 为等腰直角三角形. 类型 2 等腰直角三角形含半角 3．如图，△ 是等腰直角三角形， = = 4，∠ = 90 ， ， 分别是边 ， 上 的点，以 ， 为邻边作矩形 ， , 分别交 于 ， .设 = ， = ，且 = 8. （1）判断由线段 ， ， 组成的三角形的形状，并说明理由. （2）①当 = 时，求∠ 的度数. ②当 ≠ 时，①中的结论是否成立？并说明理由. 答案： 解:（1）由线段 ， ， 组成的三角形是直角三角形.理由如下： 47/96 中考数学@常考模型专练 在矩形 中， // ， = ， // ， = ，∠ = 90 ， ∵△ 是等腰直角三角形， ∴ ∠ = ∠ = 45 ， ∴ ∠ = ∠ = 45 ，∠ = ∠ = 45 ， 又∵ ∠ = ∠ = 45 ，∠ = ∠ = 45 ， ∴△ ，△ ，△ 均为等腰直角三角形， ∴ 2 + 2 = 2， = ， 2 + 2 = 2， = ， 2 + 2 = 2， = . ∵ = = 4， = = ， = = ， ∴ = = = 4 ， = = = 4 ，∴ = = = (4 ) = + 4， ∴ 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 2(4 )2 + 2(4 )2 = 2( 2 + 2 8 8 + 32)， 2 = 2 + 2 = 2( + 4)2 = 2( 2 + 2 8 8 + 16 + 2 )， 又∵ = 8， ∴ 2 = 2( 2 + 2 8 8 + 32) = 2 + 2， ∴由线段 ， ， 组成的三角形是直角三角形. （2）①如图，连接 ， ∵ = ， = 8，∴ = = 2√2,矩形 为正方形. 在等腰Rt △ ... ...