中考数学@常考模型专练 模型十 利用轴对称的性质求最值 类型 1 两点一线型 角度 1 异侧线段和最小值问题 方法解读 如图， 为直线 上一动点， 、 是直线两侧的两个定点，要求 + 的最小值，需连接 ， 则 + 的最小值等于 的长. 理论依据：两点之间线段最短. 1．如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， = 6√3， = 6，点 是 上 一动点，点 是 的中点，则 + 的最小值为（） A.3√3 B.6√3 C.3 D.6√2 答案：A 2．如图， ， 两点的坐标分别为 (4,3)， (0, 3)，在 轴上找一点 ，使线段 + 的值 最小，则点 的坐标是_____. 答案：(2,0) 解析：如图，连接 交 轴于点 ′， 根据两点之间线段最短可知 ′即为所求. 设直线 的关系式为 = + ( ≠ 0)， 64/96 中考数学@常考模型专练 3 4 + = 3, = , 则{ 解得{ 2 = 3, = 3, 3 ∴ = 3， 2 当 = 0时， = 2， ∴ ′(2,0).故答案为(2,0). 角度 2 同侧线段和最小值问题 方法解读 如图， 为菱形的对角线上一动点， 、 是对角线一侧的两个定点，要求 + 的最小值， 需找到点 或点 关于 点所在直线的对称点，如 的对称点 ′，再连接 ′ ，则 + 的最小 值就等于 ′ 的长. 理论依据：两点之间线段最短. 3．[2023内蒙古通辽]如图，在扇形 中，∠ = 60 ， 平分∠ 交 于点 ，点 是 半径 上一动点，若 = 1，则阴影部分周长的最小值为（） π π π π A.√2 + B.√2 + C.2√2 + D.2√2 + 6 3 6 3 答案：A 解析：如图，作点 关于 的对称点 ′，连接 ′, ′, ′， 65/96 中考数学@常考模型专练 则 = ′， = ′，∠ = ∠ ′， ∴ + = + ′ ≥ ′，∴当 、 、 ′三点共线时， + 的值最小，即阴影部分的 周长最小，最小值为 ′的长+ 的长. ∵ 平分∠ ，∠ = 60 ， 1 ∴ ∠ = ∠ = ∠ = 30 ， 2 ∴ ∠ ′ = 30 ，∴ ∠ ′ = 90 ， 在Rt △ ′中， ′ = = = 1， ∴ ′ = √2， 30π×1 π 又 的长= = ， 180 6 π ∴阴影部分周长的最小值为√2 + . 6 4．如图，正方形 的边长为 4，点 ， 分别在边 ， 上，且 = ， 平分∠ ， 连接 ，分别交 ， 于点 ， ， 是线段 上的一个动点，过点 作 ⊥ ，垂足为 ， 连接 ，有下列四个结论：① 垂直平分 ；② + 的最小值为3√2；③ 2 = ； ④ △ = 6√2.其中正确的是（） A.①② B.②③④ C.①③④ D.①③ 答案：D 解析：∵四边形 为正方形， ∴ = = ，∠ = ∠ = 90 ， ∵ = ，∴ = ， 66/96 中考数学@常考模型专练 ∴△ ≌△ (SAS). ∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ = 90 ， ∴ ∠ + ∠ = 90 ， ∴ ∠ + ∠ = 90 ， ∴ ∠ = ∠ = 90 ， ∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ . 又∵ = ，∴△ ≌△ (ASA). ∴ = ， ∴ 垂直平分 ，故①正确. ∵ ∠ = ∠ = 90 ，∠ = ∠ ， ∴△ △ ，∴ = ， ∴ 2 = ，又∵ = ， ∴ 2 = ，故③正确. ∵四边形 为正方形，且边长为 4， ∴ = = = 4， ∴在Rt △ 中， = 4√2. ∵△ ≌△ ， ∴ = = 4， ∴ = = 4√2 4. 设△ 的边 上的高为 ， 则△ 的边 上的高也为 ， ∵ △ = △ △ ， 4 4×4 (4√2 4) ∴ = ，∴ = 2√2， 2 2 2 1 1 ∴ △ = = × 4 × 2√2 = 4√2.故④错误. 2 2 连接 ,∵ 垂直平分 ,点 在 上，∴ = ,∴ + = + , 过点 作 ′ ⊥ ，交 于点 ′，交 于点 ′，如图所示， ∴ ′的长即为 + 的最小值， 67/96 中考数学@常考模型专练 ∵ ′ = 2√2，∴ + 的最小值为2√2.故②错误. 综上所述，正确的是①③. 故选D. 5．如图， ， 是正方形 的边 的三等分点， 是对角线 上的动点，当 + 取得 最小值时， 的值是_____. 2 答案： 7 解析：作点 关于 的对称点 ′，连接 ′交 于点 ′，过点 ′作 的垂线，交 于点 ，如 图， 由题意得， ′落在 上，易知，当点 与点 ′重合时， + 取得最小值. 设正方形 的边长为 ， 2 则 ′ = = ， = ， 3 3 ∵四边形 是正方形， ∴ ∠ ′ = ... ...
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