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课件网) 第四章 三角恒等变换 §3 二倍角的三角函数公式 必备知识解读 知识点1 二倍角公式 1 二倍角公式 函数 公式 简记符号 正弦 余弦 正切 特别提醒 （1）二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二倍等，“倍”是描 述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想. （2）对于和,,但是在使用时，要保证分母0且 有意义. （3）一般情况下， , , . 2 二倍角公式的变形应用 （1）二倍角公式的逆用 ,, . . , . （2）配方变形 . （3）因式分解变形 . （4）升幂公式 ； . （5）降幂公式 ； ； ； . 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P164例1]已知， 是第三象限的角，则 的值为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】,是第三象限的角， ， , 则 . 例1-2 ［教材改编P165 T1］利用倍角公式求下列各式的值： （1） ; 【解析】 . （2） ; 【解析】 . （3） ; 【解析】 . （4） . 【解析】 . 知识点2 半角公式 1 半角公式 ； ; . 上面有关半角三角函数的公式，称为半角公式（半角公式可由二倍角公式变形 得到）. . . 2 半角公式根号前符号的确定原则 （1）当已知角 的终边所在的象限时，根据下表决定符号： 第一象限 第一、三象限 、 、 、 第二象限 第一、三象限 、 、 、 第三象限 第二、四象限 、 、 、 第四象限 第二、四象限 、 、 、 （2）当给出角 的范围（即某一区间）时，可先求出角的范围，然后根据角 的终边所在的象限来确定符号. （3）如果没有给出确定符号的条件，那么需要在根号前保留“ ”. 学思用·典例详解 例2-3 ［教材改编P168 T7］若，，，则 __. 【解析】由，，得, , . . 例2-4 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 是第一象限角，所以,所以 . 例2-5 ［教材改编P167 T2］求值： _____. 【解析】原式 . 释疑惑 重难拓展 知识点3 万能公式 ; ; . 由上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角 函数值，因此以上公式称为万能公式. 知识剖析 1.在使用万能公式时，必须是在它们都有意义的前提下进行. 2.万能公式的好处在于把三角函数式转化为用 表示的式子. 学思用·典例详解 例3-6 若, 是第三象限角，则 ( ) A A. B. C.2 D. 【解析】 是第三象限角，是第二、四象限角， . , , . 关键能力构建 题型1 利用二倍角公式化简、证明 1 无限制条件的三角函数式的化简问题 例7 化简： 观察待化简的式子可以发现：（1）涉及的角有 , , , （需要把 化为 ， 化为 ；（2）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关 系进行名称的统一）；（3）次数为2（有降次的可能）；（4）有平方项（可以进行 配方）.由于侧重角度不同，出发点不同，所以本题的化简方法不止一种. 【解析】 （从“角”入手，倍角变单角） 原式 . （从“名”入手，异名化同名） 原式 . （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式 . （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式 . 2 有限制条件的三角函数式的化简问题 例8 化简： （1）,其中 ; 【解析】 , ,, . 故原式 . （2）,其中 . 【解析】原式 （注意式子的正负，必要时要分类讨论）. ①当,时,,, ,此时原式 . ②当时，, ,此时原式 . . . 两题均含有根式，因此化简的关键是将根号下内容转化为完全平方的形 式.（1）中观察式子结构特征，利用公式 即可化简；（2）中根号下 的“1”可巧妙的转化为 （同角三角函数的关系式），再结合 ，利用完全平方公式化简. 名师点评 处理根式化简的关键是“升幂”，将根式下的结构变形为平方形式，常用的 变形技巧为 , , ， ， . 需要特别注意的是开根号后的结果为正，要取绝对值，最后要根据题中角的范围， 判断正负，去绝对值符号. 化简三角函数式的原则和要求 （1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则： ... ...
