椭圆（难点突破） 学习目标： 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解椭圆的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 考向预测· 考情分析：椭圆方程，几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，直线与椭圆的位置关系，定值、定点与存在性等综合问题，仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题． 学科素养：通过椭圆的定义、标准方程的求解研究椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系考查数学运算、直观想象的核心素养． 必备知识———基础落实 赢得良好开端 一、必记2个知识点 1．椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 椭圆 _____为椭圆的焦点 |MF1|＋|MF2|＝2a (2a＞|F1F2|) _____为椭圆的焦距 2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2) 标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：_____ 对称中心：_____ 顶点 A1_____，A2_____ B1_____，B2_____ A1_____，A2_____ B1_____，B2_____ 性 质 轴 长轴A1A2的长为_____ 短轴B1B2的长为_____ 焦距 |F1F2|＝_____ 离心率 e＝∈_____ a，b，c 的关系 _____ 二、必明4个常用结论 1．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c. 2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦． 3．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)． 4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值－. 考点突破 掌握类题通法 考点一 椭圆的定义及应用 [综合性] [例1] (1)已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( ) A．1 B．3 C．5 D．9 (2)设F1，F2是椭圆 ＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为_____． 反思感悟 椭圆定义的应用技巧 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等． 考点二 椭圆的标准方程 [综合性] [例2] (1)[江苏省苏州中学月考]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( ) A．＋y2＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 (2)椭圆C的焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l与C交于A，B两点，若＝＝0，则C的方程为( ) A．＋y2＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 反思感悟 求椭圆的标准方程的步骤 考点三 椭圆的几何性质 [综合性] 角度1 求椭圆的离心率 [例3] (1)[安徽蚌埠高三开学考试]已知椭圆＝1(a>b>0)的右顶点为A，坐标原点为O，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． (2)[2022·昆明市云南师大附中高三月考]已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得|PF1|－|PF2|＝2b，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A． B． C．(0，] D．[，1) 反思感悟 求椭圆离心率或其取值范围的方法 (1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝＝＝1－直接求． (2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 角度2 最值(或范 ... ...
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