第9讲 解三角形 基础回归 经典回眸 1．(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1＋，AB=，则A=( ) A．45° B．60° C．120° D．135° 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C=( ) A． B． C． D． 3．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)=b(sin A－sin B)，则C=( ) A． B． C． D． 4．(2023·全国乙卷文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B－bcos A=c，且C=，则B=( ) A． B． C． D． 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，c=，A=，则b= ． 要点梳理 1．三角形的边角与恒等关系 (1) 三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)=sin C； ②cos(A＋B)=－cos C； ③sin=cos； ④cos=sin． (2) 三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B a＞b sin A＞sin B cos A＜cos B． 2．正、余弦定理 (1) ===2R(R为外接圆半径)． (2) a2=b2＋c2－2bccos A，cos A=． 3．三角形面积公式：S= = = ． 举题固法 正、余弦定理的直接应用 例 1 (2025·广州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=a(1＋2cos B)． (1) 求证：B=2A； (2) 若a=3，b=2，求△ABC的面积． 1．正弦定理边角互化及外接圆半径R ①齐次的边与内角互化：a=b sin A=sin B； ②分式转化：=； ③涉及外接圆半径：2R=． 2．余弦定理 ①涉及b2＋c2－a2，b2＋c2这类含边的平方的结构，考虑利用余弦定理及其推论； ②等式中有cos A，且边化角不易，可考虑将cos A换成，角化边处理； ③涉及a±b和ab的关系，考虑将余弦定理配方处理，即c2=(a±b)2－2ab(cos C±1)． 变式1－1 (2023·全国乙卷理)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1. (1) 求sin∠ABC的值； (2) 若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ACD的面积． 变式1－2 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A=2. (1) 求角A的大小； (2) 若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长． 三角恒等变换与解三角形的综合 例 2 (2025·徐州2月调研改)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c－a)(sin A＋sin C)=b(sin B－sin A)． (1) 求角C的大小； (2) 若cos2A＋cos2B=，求sin的值． 解此类题的常用方法是“化简转化法”，即先用诱导公式、同角关系、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”，然后再用正、余弦定理对三角形的边、角进行互化． 变式 2 (2025·赣州期末)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 sin ＋cos =2. (1) 求A； (2) 若a=2，cos A＋cos(B－C)=sin 2Bsin C，求△ABC的周长． 多三角形问题(选讲) 例 3 (2025·赣州二模改)在△ABC中，cos A=，tan(A－B)=． (1) 求B； (2) 若BC=，且∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD． 解多三角形问题的步骤： (1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； (2) 在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； (3) 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； (4) 结合三角恒等变换公式进行求解． 变式 3 (2025·潍坊3月模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋b=0，b=c． (1) 求cos C； (2) 若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求CD的长． 配套热练 1．(2025·八省联考)在△ABC中，BC=8，AC=10，cos∠BAC=，则△ABC的面积为( ) A．6 B．8 C．24 D．48 2．(2025·景德镇5月适应性考试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，C=，a=1，则b=( ) A． B．－1 C． D．＋1 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=6，A=，若△ABC有两解，则a ... ...
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