2026届高中数学二轮复习基础版 专题一　第4讲　正弦定理、余弦定理 学案（含答案）

第4讲　正弦定理、余弦定理 1.(2025·全国Ⅱ卷，T5)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 答案　A 解析　方法一　由余弦定理得cos A= == 又0°0， 据此可得cos A=0，A= 则B=π-A-C=π--=. 3.(2021·全国甲卷，理T8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 答案　B 解析　如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE=100，C'B'=CE=.在△A'B'C'中， ∠C'A'B'=75°，则BD=A'B'=.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD=BD=所以高度差AA'-CC'=AD+BE=+100=+100=+100=+100=100(+1)+100≈373. 4.(2024·新课标Ⅰ卷，T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3+，求c. 解　(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C， 因为a2+b2-c2=ab， 所以cos C= 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C=== 又因为sin C=cos B， 即cos B= 又B∈(0，π)，所以B=. (2)由(1)可得B=cos C=C∈(0，π)， 从而C=sin A=sin(B+C)=sin =×+×=. 方法一　由正弦定理有= 从而b=·c=c， 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A =·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+ 可得c2=3+所以c=2. 方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C =2R2··· =·R2=3+. 所以R=2. 所以c=2R·sin C=2×2×=2. 5.(2025·北京，T16)在△ABC中，cos A=-，asin C=4. (1)求c； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高. ①a=6；②bsin C=；③△ABC面积为10. 解　(1)因为cos A=-A∈(0，π)，所以sin A== 由正弦定理有asin C=csin A=c=4解得c=6. (2)如图所示，设在△ABC中，BC边上的高为AD， 若选①，a=6，因为c=6，所以C=A，因为cos∠CAB=-<0，则<∠CAB<π，此时△ABC有两个钝角， 而这是不可能的，所以△ABC不存在，故不能选①. 若选②，bsin C=由正弦定理有bsin C=csin B=6sin B=解得sin B= 因为cos∠CAB=-<0，所以cos B>0，所以cos B===AD=csin B=6×= 此时△ABC存在且唯一确定，且BC边上的高AD=.若选③，△ABC的面积是10则S△ABC=bcsin∠CAB=b×6×=10 解得b=5， 由余弦定理可得 a= ==9， 此时△ABC存在且唯一确定，又S△ABC=a·AD=AD=10所以AD=. 命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有考查.分值约为5~13分. 考查方向：一是考查正弦定理与余弦定理，利用正弦、余弦定理解三角形；二是考查利用正、余弦定理解决平面几何问题，将已知条件转化到三角形中，根据条件类型选择解题依据求解；三是考查解三角形在生活实际中的应用，涉及求距离、高度、角度等问题. 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 1.正弦定理：在△ABC中===2R( ... ...