第6讲 平面向量 1.(2025·全国Ⅰ卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为( ) 级数 名称 风速大小(单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 2.(2024·全国甲卷，理T9)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则( ) A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件 3.(2024·新课标Ⅱ卷，T3)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于( ) A. B. C. D.1 4.(2025·全国Ⅱ卷，T12)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|= . 5.(2025·天津，T14)在△ABC中，D为AB边的中点，==a，=b，则= (用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·= . 6.(2024·天津，T14)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=DE，=λ+μ，则λ+μ= ；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为 . 命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值约为5分. 考查方向：一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算研究最值问题或平面图形的几何性质等. 考点一 平面向量的基本运算 已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 模 |a|= |a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 例1 (1)如图所示，在矩形ABCD中，AB=4AD=8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·的值为( ) A.4 B. C.16 D.27 (2)(2025·安徽皖南八校模拟)已知向量a=(2，3)，b=且(a+2b)∥a，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是 . [规律方法] 含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化， 极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. 极化恒等式的三角形式：如图，M为BC的中点， 则·=-. 跟踪演练1 (1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t等于( ) A.1或 B.-2或 C.-1或2 D.-2或1 (2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 考点二 平面向量基本定理 1.平面向量共线定理及其推论 共线定理：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中a≠0，则a∥b b=λa x1y2-x2y1=0. 共线定理的推论：=λ+μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1. 2.平面向量基本定理 如果e1，e2是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 例2 (1)(2025·长沙模拟)在△ABC中，D是线段BC上一点，若=λ=+则实数λ等于( ) A. B. C. D. (2)(多 ... ...
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