参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. A 2. B 3. B. 4. D 5. B 6. D 7. C. 8. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. BCD 10. ABC 11. ABC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. ,0 0,1 4π 13. . 3 14. ,0 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 1 15. （1）因为 x ， y 均为正数， 6， x y 6 1 1 x y 2 xy 2 所以 即 xy 1 1 ，当且仅当 x y 时等号成立， x y xy xy xy 3 3 xy 1 xy 1所以 ，即 的最小值为 ； 9 9 1 （2）由题可得 x y x y 1 1 1 2 y x 1 y x 2 2 y·x 2 ，当且仅当 即 6 x y 6 x y 6 x y 3 x y x y 1 时等号成立， 3 所以 x y 2的最小值为 ； 3 2 2 1 2 1 （3）由（1）可得 x y 2xy 2 ，当且仅当 x y 时等号成立， 9 9 3 2 所以 x2 y2 的最小值 . 9 16. 1 tan π tan 1 2 1（ ）① 4 3 2 2 . 1 tan 1 2 1 sin2 cos2 tan2 1 3 2 ② sin cos sin cos tan 2 （2） sin10 sin10 sin10 cos10 1 3 tan10 1 3 sin10 cos10 3 sin10 cos10 1 sin 20 1 sin 20 2 2 1 1 3 2sin 30 10 42 cos10 sin10 2 2 17. （1）由题可得 f 0 b 0， 1 所以b 0 . （2）因为 f (x)有且仅有 1个零点，所以 a 0，且函数 f x 在 1, 上无零点，在 ,1 上有且仅有 1个零点， 所以函数 y x2 4x b x 2 2 b 4在 ,1 上有且仅有 1个零点， 又函数 y x2 4x b x 2 2 b 4在 ,1 上单调递减， 所以 1 2 2 b 4 0即b 3， 所以满足题意的b 的取值范围为 ,3 ； （3）当 x 0时，1 x 1,1 x 1， 2 2 所以由 f (1 x) f (1 x)得 1 x 4 1 x b a 1 x ，整理得 a 1 x2 2a 2 x 3 b a 0， a 1 0 a 1 则 2a 2 0 ； b 4 3 b a 0 当 x 0时，1 x 1 x 1，满足 f (1 x) f (1 x)； 当 x 0时，1 x 1,1 x 1， 所以由 f (1 x) f (1 x)得 1 x 2 4 1 x b a 1 x 2，整理得 a 1 x2 2a 2 x 3 b a 0， a 1 0 a 1 则 2a 2 0 ； b 4 3 b a 0 综上，若 f (1 x) f (1 x)，则 a 1，b 4 . 18. （1） f x 3sin 2x 2cos2 x 1 3sin 2x cos2x 2 3 sin 2x 1 cos 2x 2sin 2x π ， 2 2 6 2π 所以最小正周期T π . 2 π π 3π （2）令 2kπ 2x 2kπ k Z ， 2 6 2 π 解得 kπ x 2π kπ k Z ， 6 3 π 2π 所以单调递减区间为 kπ, kπ 6 3 k Z . π π π π 5π （3）已知 x , ，则 2x , . 6 3 6 6 6 t π π令 2x ，则 t , 5π ，函数可记为 y 2sin t .6 6 6 π 5 π π 则 2sin t a t 在 , π 有两个不同解 t1 ， t2 ，其中 t1 2x ， t 6 6 1 6 2 2x2 .6 2 a 1,2 t t π π π π t , 5 此时 ，则 1 2 ，即 2x1 2x π 2 ，所以 x1 x2 ， 1 ，t2 6 6 3 6 2 , . 2 6 所以 2x1 x 2 x1 x1 x2 x1 ，3 t , 又因为 1 ，且 t1 2x π 1 ，可得 x 0, ， 6 2 6 1 6 所以 2x π π 1 x 2 , ， 3 2 所以 2x π π 1 x 2的取值范围是 , . 3 2 19. （1）令u(x) x2 k x ，因为 y 3x 是单调递增函数， 2 所以要使 f (x)在 (0, )上单调，就等价于函数u(x) x k x 在 (0, )上单调， u(x) x2 kx (x k 2 2 k (0, ) k即 ) 在 上单调，所以 0，得 k 0 . 2 4 2 故 k 的取值范围为 [0, ) . （2）因为 f (x) 3的最小值为 ，而 y 3u 是增函数，所以 f (x)的最小值等价于u(x)的最小值， 3 1 1 f (x) 3min 3 2 ，所以u(x)min .3 2 又因为u( x) ( x)2 k x x2 k x u(x)，所以u(x)是偶函数. ①若 k 0, x 0时，函数u(x) k的对称轴 x 0，所以函数u(x)在 [0, )上单调递增，函数 2 u(x)min u(0) 0， 再由偶函数的图象关于 y 轴对称，可得函数u(x)在 R上u(x) 1m ... ...
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