数列的最值 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 数列的最值 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考 一、单选题 1．已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 3．在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ） A．40 B．41 C．42 D．43 5．正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A． B．5 C． D．6 二、多选题 6．对于给定的数列，对任意的，总存在，使得，则称为“数列”，则（ ） A．若，则数列是“数列” B．若，则数列是“数列” C．若数列是“数列”，则数列也是“数列” D．若项数有限的数列是“数列”，且各项互不相等，则项数的最大值为3 7．已知数列的前项的和，， 若，则下列说法正确的是（ ） A．为等差数列 B． C．能取得最小值 D．当时，取得最小值 三、填空题 8．已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于 9．已知数列满足，则的最小值为 . 10．已知数列满足，，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为 ． 11．已知在数列中，，且，设，若，则正整数的最大值为 . 12．若，，记数列的前项和为，则的最小值为 . 四、解答题 13．已知正项等比数列的前项和为，满足，. (1)求数列的前项和. (2)在（1）的条件下，若，，求的最小值. 14．记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的最小值及取得最小值时的值． 15．设数列的前项和，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列前项和，求使成立的的最小值． 16．已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列． (1)求的通项公式； (2)探究的单调性，并求其最值． 17．已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 18．已知数列与满足，. （1）若，且，求数列的通项公式； （2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项； （3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且. 19．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A B B B BCD BC 1．C 【分析】由题意求得，，进一步将所求转换为关于的二次式子即可求解. 【详解】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 2．A 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：A 3．B 【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解. 【详解】由可得， 故，设的公比为，则，即， 故， 则． 由于时，， 故随着的增大而增大，而，， 故满足的最小正整数的值为6． 故选：B. 4．B 【分析】由等差数列求和公式得，根据题意列出不等式即可求解. 【详解】由已知可得， 的公差为，故， 故， 令，又，所以，故n的最大值为41， 验证，， 所以n的最大值为41. 故选：B. 5．B 【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得. 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 6．BCD 【分析】依据题目数列的要求，对选项逐一判断即可. 【详 ... ...