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课件网) 主题二 数列 专题6 等差、等比数列的基本计算 导言 等差、等比数列是两类特殊的数列，也是基本的数列形式，是高考命题的热点. 等差(比)数列的基本计算，思路一是解方程或方程组，思路二是利用等差(比)数列的性质灵活处理已知条件. 容易出现的问题主要有两个方面：一是计算失误，特别是等比数列中的隐含条件不易挖掘出来；二是不能灵活运用等差(比)数列的性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，运算量大． 内容索引 基础活动 优选活动 自主活动 思维模型 基 础 活 动 1 已知等比数列{an}的各项均为正数，Sn是{an}的前n项和，若S2＝3，S4＝15，则a7的值为_____. 64 2 [2025上海卷]已知等差数列{an}的首项a1＝－3，公差d＝2，则该数列的前6项和为_____. 12 3 [苏教版选必一P149例1改编]设Sn为等差数列{an}的前n项和． (1) 已知a1＝3，a50＝101，则S50＝_____； 2 600 4 若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为_____. 300 要点指引 1. 在等差(比)数列中，首项a1和公差d(或公比q)是两个最基本的元素． 2. 在进行等差(比)数列的项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可转化成关于a1和d(或q)的方程(组)求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量． 3. 在等比数列的前n项和公式中，若不确定q是否等于1，应注意分q＝1和q≠1两种情况讨论． 4. 若等差数列{an}的项数为2n，则S偶－S奇＝nd；若项数为2n＋1，则S奇－S偶＝an＋1. 优 选 活 动 重点1 通项与求和 [2025长沙模拟]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q. 已知b1＝a1，b2＝3，q＝d＋1，S10＝100. (1) 求{an}，{bn}的通项公式； 1 本题与【基础活动】的第1、2题对比，发现：求等差(等比)数列的通项与前n项和时，可根据条件列出方程(组)，知三求二．这类问题通常比较简单，注意计算，切不可粗心算错． 变式训练2 [2025南通中学模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为2，且a2＋a6＝10，S5＝3a4，b4－a5＝3S3. (1) 求{an}，{bn}的通项公式； 解：(1) 设等差数列{an}的公差为d. 因为a2＋a6＝10，S5＝3a4，b4－a5＝3S3. 所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3， 所以a5＝7，S3＝3. 设等比数列{bn}的公比为q， 代入，得2q3－7＝9，解得q＝2， 故bn＝2·2n－1＝2n. 题后反思 提高等差、等比数列运算正确率要注意： 1. 准确求解基本量：等差(比)数列的计算问题往往要先求出数列中的基本量，才能进行下面的计算或推理，基本量的求解错误是解答这类试题的致命失误． 重点2 性质应用 2 设an＝k(2n－1)，bn＝kn. 因为a1＝k＝1， 所以an＝2n－1，bn＝n. 通解 设等差数列{an}的公差为d1，等差数列{bn}的公差为d2. 解得d1＝2，d2＝1[防范失误①]， 所以an＝2n－1，bn＝n. 本题与【基础活动】的第3题对比，发现：这两题都是针对等差数列设置的问题，且均可运用性质快速解题．当所给数列为特殊数列(等差数列或等比数列)时，要快速回顾其基本性质，并灵活应用其性质帮助我们快而准地解决问题． 例3 [2025吴江高级中学月考]已知等比数列{an}共有2n＋1项，且a1＝2，偶数项的和为84，奇数项的和为170，则n的值为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 9 思路引导：本题考查等比数列的性质．根据等比数列中偶数项和与奇数项和的关系进行列式求解． A D 变式训练2 [2025扬州中学预测]在正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30＝7S10，S10＋S30＝80，则S20的值为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 C 题后反思 等差、等比数列的常用性质： 1. 等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，m，n，p，q，k∈N*. ... ...
