（新教材备课）第一单元 第2课时 余数和除数的关系（知识梳理）人教版数学二年级下册

知识精准 重点聚焦 梯度明晰 学练无忧 第一单元 第2课时 余数和除数的关系 知识梳理 人教版 数学 二年级下册（新教材） 知识点一：余数与除数的核心规律 1. 规律内容 核心结论：在有余数的除法中，余数一定小于除数（用数学表达式表示为：余数＜除数）； 示例验证：用小棒摆三角形（除数=3），余数只能是1或2，均小于3；摆五边形（除数=5），余数只能是1、2、3、4，均小于5。 2. 规律本质 逻辑依据：余数是“平均分后剩余且不够再分一份”的数量，若余数大于或等于除数，说明剩余部分仍能再分一份，不符合余数的定义； 反例佐证： 余数=除数：如12根小棒摆三角形（除数=3），12÷3=4（个），正好分完，无余数，与“余数=除数”矛盾； 余数＞除数：如13根小棒摆三角形（除数=3），若余数记为4，4根小棒可再摆1个三角形，实际余数应为1，与“余数＞除数”矛盾。 【名师精研】 规律记忆技巧：用“不够再分”口诀辅助———余数要比除数小，不够再分才达标，避免出现“余数≥除数”的错误； 实操强化：用不同除数（如4、6、7）摆图形，记录余数情况，通过多次验证加深对规律的认知，形成条件反射。 知识点二：余数的取值范围 1. 关键取值边界 最小余数：1（余数表示有剩余，最少剩余1个，若余数为0则属于整除，无剩余）； 最大余数：除数-1（余数必须小于除数，比除数小的最大整数即为“除数-1”）； 示例：除数=8时，最大余数=8-1=7；除数=6时，最大余数=6-1=5。 2. 完整取值范围 取值集合：所有大于或等于1、且小于除数的整数，即1～（除数-1）之间的所有整数； 示例：除数=4时，余数的可能取值为1、2、3；除数=9时，余数的可能取值为1、2、3、4、5、6、7、8。 【名师精研】 取值判断技巧：已知除数，先算“最大余数=除数-1”，再确定取值从1到最大余数，不重不漏； 防错提醒：余数不能为0（0表示无剩余，属于整除），也不能等于或大于除数，可通过“除数-余数≥1”验证取值是否合理。 知识点三：规律的应用场景与方法 1. 场景一：判断余数是否合理 应用方法：对比余数与除数，若余数＜除数则合理，若余数≥除数则不合理； 示例：判断算式“17÷5=3……4”是否合理，除数=5，余数=4，4＜5，合理；判断“20÷6=3……2”是否合理，余数=2＜6，合理；判断“11÷4=2……3”是否合理，余数=3＜4，合理；判断“15÷4=3……3”是否合理，余数=3＜4，合理；判断“14÷3=4……2”是否合理，余数=2＜3，合理；判断“9÷2=3……3”是否合理，余数=3＞2，不合理。 2. 场景二：求最大余数 应用方法：直接套用公式“最大余数=除数-1”； 示例：把一些苹果平均分给7个小朋友，若有剩余，最多剩几个？除数=7，最大余数=7-1=6，即最多剩6个。 3. 场景三：确定余数的可能值 应用方法：先明确除数，再列出1到“除数-1”之间的所有整数； 示例：用小棒摆六边形（每个六边形需6根小棒），若有剩余，可能剩几根？除数=6，余数可能为1、2、3、4、5。 【名师精研】 应用技巧：遇到与余数相关的问题，先锁定“除数”这个关键条件，再根据规律推导结果，避免盲目判断； 拓展应用：逆向思考“已知余数是5，除数最小是几？”，根据“除数＞余数”，除数最小为5+1=6，强化对规律的灵活运用。 知识点四：规律与有余数除法的关联 1. 对算式书写的规范作用 书写前提：列有余数除法算式时，需先确保余数＜除数，再规范书写商、余数及单位； 示例：10根小棒摆四边形（除数=4），能摆2个剩2根，算式为10÷4=2（个）……2（根），余数2＜4，书写规范；若误写为10÷4=1（个）……6（根），余数6＞4，不符合规律，书写错误。 2. 对除法计算的验证作用 验证方法：计算出商和余数后，通过“余数＜除数”验证结果是否正确； 示例：计算19÷5，若得出商=3、余数=4，4＜5，结 ... ...