第1课时 基本不等式 【课程标准要求】 1.知道基本不等式≤(a>0,b>0)及其几何解释,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识归纳 知识点一 基本不等式及其几何解释 1.如果a>0,b>0,有≤,当且仅当 a=b时,等号成立.通常称这个不等式为基本不等式. 2.当a>0,b>0时,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.下面是基本不等式≤的一种几何解释,请你补充完整. 如图所示,AB为☉O的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交☉O上半圆于点D,连接AD,BD,OD.由△ACD∽△DCB可得,CD=,而OD=,因为OD≥CD,所以 ≥,当且仅当点C与圆心O重合,即当a=b 时,等号成立. (1)在基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立的条件为a=b. (2)基本不等式也称为均值不等式. (3)基本不等式的常见变形:当a>0,b>0时,有①a+b≥2;②ab≤()2. 知识拓展 基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立. 其中,即叫做a,b的调和平均数,叫做a,b的平方平均数. 知识点二 基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若x+y=S(和为定值),则当 x=y时,积xy取得最大值 S2. (2)若xy=P(积为定值),则当 x=y时,和x+y取得最小值 2. 和定积最大,积定和最小. 基础自测 1.下列说法正确的是( ) [A] a,b∈R,≥成立 [B]若a>0,b>0,则a+b>2 [C] a,b∈R,a2+b2≥2ab [D]若x>2,则x+≥2可以取等号 2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是( ) [A]4 [B]4 [C]9 [D]18 故选D. 3.已知a>0,则a+1+的最小值为( ) [A]-1 [B]3 [C]4 [D]5 4.(人教A版必修第一册P46练习T4改编)若0
0,则+≥2=2 [B]若a∈R,a≠0,则+a≥2=4 [C]若x,y∈R,xy<0,则+=-(--)≥-2=-2 [D]|+|=||+||≥2=2 利用基本不等式≤(a>0,b>0)判断命题真假时,需要判断a,b是不是正数,如果不是正数,那么考虑用非正数作为特殊值,直接举反例说明不等式不能成立;如果是正数,那么继续使用基本不等式判断真假,注意检验等号是否成立. [变式训练] 下列不等式正确的是( ) [A]a+≥2 [B](-a)+(-)≤-2 [C]a2+≥2 [D](-a)2+(-)2≤-2 题型二 直接利用基本不等式求最值 [例2] (1)已知x>0,求x+的最小值; (2)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值; (3)已知1≤x≤4,求(6-x)(x+2)的最大值. (2)因为x>0,y>0,xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2 时,等号成立. 所以2x+y的最小值为4. (3)因为1≤x≤4,所以6-x>0,x+2>0,所以(6-x)(x+2)≤[]2=16,当且仅当6-x=x+2, 即x=2时,等号成立,所以(6-x)(x+2)的最大值为16. 利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则. (1)一正:各项必须为正. (2)二定:各项之和或各项之积为定值. (3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.以上三点缺一不可. [变式训练] (1)已知00, 所以x+=x-2++2=-[(2-x)+]+2, 因为(2-x)+≥2=4, 当且仅当2-x=,即x=0时,等号成立. 所以-[(2-x)+]+2≤-4+2=-2,所以所求的最大值为-2. 配凑法求最值包括两个常见的类型: (1)当代数式整体上是和的形式时,需要配凑两项的积为定值,此时,对于题目中的分式的分母一般需要“保护”,为了使另一项与这个项的积为定值,需要 ... ... 