一类分式型函数图象的对称性问题 （原卷版） 我们知道，函数的奇偶性从本质上看，是用代数方法刻画了函数图象的对称性. 有些函数虽不具有奇偶性，但它们的图象却具有更一般的对称性，如图象关于直线（为非零常数）轴对称，或关于点（，是不同为零的常数）中心对称，同样可以用代数形式和分别加以刻画. 带着这样的想法，让我们来探究一类分式型函数图象的对称性，一起感受数学探究的无穷乐趣吧！ 探究一 从简单开始，形数兼探 问题1 一次分式函数的图象，是否具有上述对称性？ 探究二 指数代换，再探性质 问题2 将替换为，得到函数，该函数的图象是否具有类似的对称性呢？ 探究三 常数代换，又探性质 问题3 在探究二的基础上，将1替换为常数，得到函数，该函数的图象是否具有对称性呢？ 追问 如果呢？函数的图象是否也具有对称性呢？ 那么，你能大胆猜想出它的对称中心的坐标吗？你能尝试用代数方法给出严格的证明吗？ 追问 你还有其他方法说明该猜想的合理性吗？ 探究四 双参代换，深探性质 问题4 如果引入两个不同的参数，，得到函数（，均为常数，且），那么该函数的图象是否仍具有对称性呢？如果有，它的对称中心又是什么？一类分式型函数图象的对称性问题 （解析版） 我们知道，函数的奇偶性从本质上看，是用代数方法刻画了函数图象的对称性. 有些函数虽不具有奇偶性，但它们的图象却具有更一般的对称性，如图象关于直线（为非零常数）轴对称，或关于点（，是不同为零的常数）中心对称，同样可以用代数形式和分别加以刻画. 带着这样的想法，让我们来探究一类分式型函数图象的对称性，一起感受数学探究的无穷乐趣吧！ 探究一 从简单开始，形数兼探 问题1 一次分式函数的图象，是否具有上述对称性？ 思考 从形入手：将函数变形为，于是可先将函数的图象向右平移1个单位长度，得到，再将的图象向上平移1个单位长度，得到的图象（如图1）. 不难发现，函数的图象关于点中心对称. 从数入手：注意到函数的定义域为，如果其图象具有上述对称性，那么对称轴方程应该为或对称中心为直线上某一定点，从数的角度应该有或为常数，下面分别计算和. 因为，所以的图象不关于直线对称. 又因为，所以的图象关于点中心对称. 探究二 指数代换，再探性质 问题2 将替换为，得到函数，该函数的图象是否具有类似的对称性呢？ 思考 显然，手工画图已经不方便了，可以借助Geogebra作图软件，一看究竟. 如图2，直观判断函数的图象关于原点中心对称. 追问 如果没有作图软件的直观支撑，又应如何探究其对称性呢？ 注意到函数的定义域为，如果它的图象具有对称性，那么应考虑关于直线轴对称或关于轴上某一点中心对称，因此可以分别计算和加以探究. 因为，所以函数的图象不关于直线对称. 又因为，所以的图象关于原点中心对称. 通过探究，我们发现，变化后的函数图象的对称性仍然存在，只是对称中心发生了变化. 探究三 常数代换，又探性质 问题3 在探究二的基础上，将1替换为常数，得到函数，该函数的图象是否具有对称性呢？ 思考 不妨先借助Geogebra作图软件，观察动态图象（随的变化而变化），可以发现：当时，的图象都成中心对称，形如图3. 根据函数的定义域，我们不难猜想其对称中心为. 下面来证明. 证明 因为，所以。 追问 如果呢？函数的图象是否也具有对称性呢？ 此时，函数的定义域为，就不太容易猜想出它的对称中心或对称轴方程了，很容易误判。事实上，借助Geogebra作图软件，如图4，可以惊讶地发现： 函数的图象仍是中心对称图形。 那么，你能大胆猜想出它的对称中心的坐标吗？你能尝试用代数方法给出严格的证明吗？ 猜想 对称中心为，下证：。 证明 因为， 所以。 追问 你还有其他方法说明该猜想的合理性吗？ 事实上，时，，根据时的探究结论知 ... ...
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