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课件网) 第2课时 函数的最大(小)值 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点 函数的最值 1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: (1) x∈D,都有f(x) M; (2) x0∈D,使得 . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. 知识归纳 ≤ f(x0)=M 2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: (1) x∈D,都有f(x) M; (2) x0∈D,使得 . 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值. ≥ f(x0)=M ·疑难解惑· (1)最大(小)值的几何意义:函数图象上最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y=x,x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值,但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M),那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值,只有同时满足定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值. 基础自测 1.已知f(x)是定义在R上的函数,那么“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的( ) [A]充分不必要条件 [B]必要不充分条件 [C]充要条件 [D]既不充分也不必要条件 B 【解析】 只有“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”且“存在x0∈R,使得f(x0)=M”,这时f(x)的最大值才是M,所以充分性不满足;当f(x)的最大值是M时,对任意x∈R总有f(x)≤M恒成立,所以必要性满足,故“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的必要不充分条件.故选B. B 3.函数f(x)=x2-2x,x∈[-1,1)的值域是( ) [A][-1,3] [B](-1,3] [C](-1,3) [D][-1,3) B 【解析】 由f(x)的解析式可知,对称轴方程为x=1,所以函数在[-1,1)上单调递减,又f(-1)=3,f(1)=-1,所以值域为(-1,3].故选B. [A]-1 [B]0 [C]1 [D]2 A 【解析】 由已知,当x≤1时,f(x)=-x单调递减,f(1)=-1,此时f(x)≥-1,当x>1时,f(x)=x2单调递增,且f(x)>1,所以f(x)min=f(1)=-1.故选A. 关键能力·素养培优 题型一 利用图象求函数的最值 ·解题策略· 利用图象求函数最值的方法 (1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象. (2)根据图象找出最高点和最低点. (3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 【解】 函数f(x)的大致图象如下: 由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为[0,+∞),值域为[-1,+∞). 题型二 利用函数的单调性求函数的最值 (1)判断函数f(x)在区间[-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求f(x)在区间[-1,5]上的最值. ·解题策略· (1)利用单调性求最值的一般步骤. ①判断函数的单调性; ②利用单调性写出最值. (2)函数的最值与单调性的关系. ①若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b); ②若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a); ③求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. (1)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)求f(x)在(1,3]上的值域. [例3] 已知二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4. (1)若a=2,求f(x)在[-2,3]上的最值; 题型三 二次函数的最值 【解】 (1)当a=2时,f(x)=x2-2x+4,x∈[-2,3]. 因为f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(x)在[-2,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.又f(-2)=12,f(1)=3,f(3)=7, 所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=3,当x=-2时,f(x)取得最大值f(-2)=12. (2)求函数f(x)在[1,2] ... ...
