3.2.2　奇偶性（课件+学案）（含答案）

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 【课程标准要求】　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题. 知识归纳 知识点　函数的奇偶性 函数 偶函数 奇函数 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x)是 奇函数 图象性质 关于y轴对称 关于原点对称 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)先判断定义域是否关于原点对称,对于 x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数. (3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立. (4)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0. (5)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数. 基础自测 1.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 (　　) [A]-1 [B]0 [C]1 [D]无法确定 2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) [A] [B] [C] [D] 3.函数f(x)=x3在R上为(　　) [A]奇函数 [B]偶函数 [C]非奇非偶函数 [D]既是奇函数又是偶函数 4.已知函数f(x)=x3+x+a为奇函数,则a等于(　　) [A]-1 [B]0 [C]1 [D]2 题型一　函数奇偶性的判断 [例1] (苏教版必修第一册P124例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数: (1)f(x)=x2-1; (2)f(x)=2x; (3)f(x)=2|x|; (4)f(x)=(x-1)2. 因为对于任意的x∈R,都有-x∈R, 且f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x), 所以函数f(x)=x2-1是偶函数. (2)函数f(x)=2x的定义域是R. 因为对于任意的x∈R,都有-x∈R, 且f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x), 所以函数f(x)=2x是奇函数. (3)函数f(x)=2|x|的定义域是R. 因为对于任意的x∈R,都有-x∈R, 且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x), 所以函数f(x)=2|x|是偶函数. (4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R. 因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1). 因此,根据函数奇偶性定义可以知道,函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数. 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法. (2)图象法. [变式训练] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=+; (2)f(x)=x3-x,x∈[-3,3); (3)f(x)=0,x∈[-1,1]; (4)f(x)= (2)f(x)的定义域为[-3,3),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数. (3)因为f(x)=0的定义域为[-1,1],关于原点对称,又f(-x)=-f(x)=f(x)=0,所以函数f(x)=0,x∈[-1,1]既是奇函数又是偶函数. (4)f(x)的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D, 当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上,对 x∈D,都有f(-x)=-f(x).所以f(x) 为奇函数. 题型二　奇、偶函数的图象问题 [例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,如图所示. (1)请补足完整函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. (2)由图可知,f(x)的单调递增区间为(-1,1). (3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}. 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称. (2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. [变式训练] 如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小. 题型三　利用函数的奇偶性求值 [例3] 若f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是闭区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则a+b=　　　　. (a+1)x2+(a-1)x+2是偶函数,则f(-x)=f(x),即(a+1)(-x)2+(a-1)( ... ...