4.5.3 函数模型的应用（课件+学案）（含答案）

4.5.3　函数模型的应用 【课程标准要求】　1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题. 知识归纳 知识点一　常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)=axα+b(a,b为常数,a≠0) 知识点二　建立函数模型的基本过程 基础自测 1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是(　　) [A]y=a·xb [B]y=a·ebx [C]y=a+bln x [D]y=a· 【答案】 C 【解析】 由散点图可知,此曲线类似对数型函数曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合.故选C. 2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到(　　) [A]300只 [B]400只 [C]600只 [D]720只 【答案】 D 【解析】 由题知,该动物的繁殖数量y与引入时间x的关系为y=alog2(x+1), 将x=1,y=180代入y=alog2(x+1),得180=alog2(1+1),解得a=180,所以y=180·log2(x+1),所以当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以15年后它们发展到720只.故选D. 3.种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下种群数量呈指数增长模型,其数学模型公式为Nt=N0λt.其中N0是该种群的起始数量,t为时间(单位:年),λ是该种群数量每年增长的倍数,Nt表示t年后该种群数量.若某种群满足“J”型增长模型,λ为定值,1年后该种群数量是起始数量的倍,则5年后该种群数量是起始数量的(　　) [A] 倍 [B] 倍 [C] 倍 [D] 倍 【答案】 A 【解析】 由题意知N1=N0,λ=,则N5=N0·=N0,故5年后该种群数量是起始数量的倍.故选A. 4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为(　　) [A] [B] [C]-1 [D]-1 【答案】 D 【解析】 设该厂在该年度的产值的月平均增长率为p,则(1+p)11=m,解得p=-1.故选D. 题型一　应用已知函数模型解决实际问题 [例1] 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃(θ1>θ0),则x min后物体的温度θ(x)满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0)e-kx(k为常数).实验测算,当x=12时,满足θ(x)-θ0=(θ1-θ0). (1)求k的值; (2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6) 【解】 (1)由题意可知, 由①÷②,得2e-12k=1,即12k=ln 2,所以k=. (2)设刚沏出来的茶水大约需要放置t min才能达到最佳饮用口感,由题意可知,θ1=75,θ0=25,θ(t)=55,所以55-25=(75-25),即=,所以t=≈≈8.6, 所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6 min才能达到最佳饮用口感. 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数. (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题. (3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算. [变式训练] 火箭是能使物体达到宇宙速度,克服或摆脱地球引力束缚,进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式:v=uln .u表示气体相对于火箭的喷射速度(单位:km/s),M0表示火箭的初始质量(火箭壳与推进剂的 ... ...