5.2.1 三角函数的概念（课件+学案）（含答案）

5.2.1　三角函数的概念 【课程标准要求】　1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号. 知识归纳 知识点一　任意角的三角函数的定义 条件 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y) 定义 正弦 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α 余弦 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作 tan α,即=tan α(x≠0) 三角 函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数　y=sin x,x∈R; 余弦函数　y=cos x,x∈R; 正切函数　y=tan x,x∈{x|x≠+kπ(k∈Z)} (1)三角函数值是比值,是一个实数. (2)三角函数值的大小只与角的大小有关. (3)若角α的终边与单位圆交于一点P,则点P的坐标为P(cos α,sin α). 知识拓展 　若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0),r=,则sin α=,cos α=,tan α=. 知识点二　三角函数值的符号 如图所示. 正弦:第一、二象限为正,第三、四象限为负.余弦:第一、四象限为正,第二、三象限为负.正切:第一、三象限为正,第二、四象限为负. 知识点三　诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等.即 sin(α+k·2π)=sin α, cos(α+k·2π)=cos α, tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z. 基础自测 1.在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边与单位圆交于点(,-),则sin α等于(　　) [A]- [B] [C]- [D] 【答案】 C 【解析】 由题意sin α=-.故选C. 2.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点(-5,12),则cos α等于(　　) [A] [B] [C]- [D]- 【答案】 C 【解析】 设点P(-5,12),则|OP|==13,故cos α==-.故选C. 3.若α=,则(　　) [A]sin α>0且cos α>0 [B]sin α>0且cos α<0 [C]sin α<0且cos α>0 [D]sin α<0且cos α<0 【答案】 C 【解析】 由α==2π-,即α为第四象限角,所以sin α<0且cos α>0.故选C. 4.计算sin(-330°)cos 390°=　　　　. 【答案】 【解析】 由诱导公式一可得,sin(-330°)·cos 390°=sin(-360°+30°)cos(360°+30°)=sin 30°cos 30°=×=. 题型一　三角函数的定义及应用 [例1] 求的正弦、余弦和正切值. 【解】 在平面直角坐标系中,作∠AOB=(如图). 易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(-,),所以sin =,cos =-,tan =-. [典例迁移1] (苏教版必修第一册P178例1)如图,已知角α的终边经过点P(2,-3),求α的正弦、余弦、正切值. 【解】 因为x=2,y=-3,所以r==, 从而sin α===-, cos α===, tan α==-. [典例迁移2] 若角α的终边经过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值. 【解】 因为r==5|a|, ①若a>0,则r=5a,角α是第二象限角,sin α===,cos α===-,所以2sin α+cos α=-=1. ②若a<0,则r=-5a,角α是第四象限角,sin α==-,cos α==,所以2sin α+cos α=-+=-1. 综上,2sin α+cos α的值为1或-1. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况: (1)若已知角α的大小,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α=. (3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r=,再求sin α=, cos α=,tan α=. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论. 题型二　三角函数函数值的符号 [例2] (1)“cos θ<0且tan θ>0”是“θ为第三象限角”的(　　) [A]充要条件 [B]必要不充分条件 [C]充分不必要条件 [D]既不充分也不必要条件 (2)(多选)给出的下列函数值中符号为负的是(　　) [A]cos [B]sin(-1 000°) [C]tan 2 [D]sin 5 【答案】 (1)A　(2)ACD 【解析】 (1) ... ...