培优课2　活用基本不等式求最值（课件+学案）（含答案）

培优课2　活用基本不等式求最值 题型一　巧用“1”的代换求最值 [例1] 已知正实数a,b满足3a+b=2,求+的最小值. 【解】 因为a>0,b>0,3a+b=2,所以+=(+)(3a+b)=2+(+)≥2+2×=2+,当且仅当=,且3a+b=2,即a=,b=-1时,等号成立,所以+的最小值为2+. [典例迁移1] 已知正实数a,b满足a+2b=ab,求2a+b的最小值. 【解】 因为a>0,b>0,a+2b=ab,所以+=1,所以2a+b=(2a+b)(+)=5++≥5+2=9,当且仅当=,且+=1,即a=b=3时,等号成立,所以2a+b的最小值为9. [典例迁移2] 已知00,又=1,即+=1, 所以+=(+)·(+)=++≥+2=, 当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值为. 常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤: (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造“和”或“积”的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 题型二　消元法求最值 [例2] 已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,求a+2b的最小值. 【解】 由2a+b=ab-1,显然b≠2,得a=,因为a>0,b>0,所以a=>0,所以b>2, 所以a+2b=+2b=+2(b-2)+4=2(b-2)++5≥2+5=5+2, 当且仅当2(b-2)=,即b=2+时,等号成立,所以a+2b的最小值为5+2. 对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. [变式训练] 设正实数x,y,z满足x2+3xy+4y2-z=0,求的最小值. 【解】 正实数x,y,z满足x2+3xy+4y2-z=0,可得z=x2+3xy+4y2, 则==3++≥3+2=7, 当且仅当x=2y时,等号成立,所以的最小值为7. 题型三　换元法求最值 [例3] 已知x>1,求的最大值. 【解】 令x-1=t,则x=t+1,由x>1,得t>0,则===.因为t+≥2=2,当且仅当t=时,等号成立,所以≤=,所以的最大值为. 换元实际上就是整体思想的一种表现,通过换元,可以减少计算量,容易转换为熟悉的模型,将问题明朗化. [变式训练] 已知x,y>0,且x+2y=4,求+的最小值. 【解】 设x+2=a,2y+2=b,则a+b=8,由x,y>0,得a,b>0,则原式转化为+=a+b++-8=+=(a+b)(+)=1+(+)≥1+×2=2,当且仅当a=b=4时,等号成立,此时x=2,y=1.故所求最小值为2. 课时作业 (满分:100分) 单选每小题5分. 1.已知x>0,y>0,且+2y=1,则2x+的最小值为(　　) [A]4 [B]6 [C]8 [D]10 【答案】 C 【解析】 因为x>0,y>0,且+2y=1,所以2x+=(2x+)(+2y)=4+4xy+≥4+2=8,当且仅当即时,等号成立,故2x+的最小值为8.故选C. 2.已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为(　　) [A]4+7 [B]2+3 [C]4 [D]6 【答案】 B 【解析】 因为x,y为正实数,且x+y=1, 所以===+=(x+y)(+)=3++≥3+2=3+2, 当且仅当即时,等号成立.故选B. 3.已知x,y>0,那么的最大值为(　　) [A]2 [B] [C]3 [D] 【答案】 B 【解析】 因为()2==1+≤1+=2,当且仅当x=y时,等号成立,所以的最大值为.故选B. 4.已知m>0,n>0,m2+4mn+3n2=m+n,则+的最小值为(　　) [A]4+2 [B]10 [C]3+2 [D]12 【答案】 D 【解析】 由m2+4mn+3n2=m+n得(m+3n)(m+n)=m+n,因为m>0,n>0,所以m+3n=1, 则+=(+)(m+3n)=++6≥2+6=12,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立. 故选D. 5.已知正实数x,y满足+=1,则4xy-3x的最小值为(　　) [A]8 [B]9 [C]10 [D]11 【答案】 B 【解析】 由x>0,y>0,且+=1,可得xy=x+y,所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y. 又因为x+4y=(x+4y)(+)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,即x=3,y=时,等号成立,所以4xy-3x的最小值为9.故选B. 6.当a>0,b>0时,≤,则实数m的最大值为(　　) [A]64 [B]25 [C]13 [D]12 【答案】 B 【解析】 因为a>0,b>0,所以a+b>0,所以≤等价于m≤(a+b). 因为(a+b)=(+)(a+b)=13++≥13+2=25, 当且仅当=,即b=a时,等号成立,所以m≤25, 即实数m的最大值为25.故选B. 7.(5分)若实数a,b满足a2+2ab=1,则a2+b2的最 ... ...