高考数学二轮复习专题3数列2数列的求和课件+练习+答案

2　数列的求和 基础打底 1．已知数列{an}的通项公式是an=2n－3×n，那么其前20项和为(　C　) A．380－　 B．400－ C．420－　 D．440－ 【解析】 设数列{an}的前n项和为Sn，则S20=a1＋a2＋…＋a20=2×(1＋2＋…＋20)－3×=2×－3×=420－． 2．(多选)已知数列{an}为，＋，＋＋，…，＋＋…＋，…．若bn=，设数列{bn}的前n项和为Sn，则(　AC　) A．an=　 B．an=n C．Sn=　 D．Sn= 【解析】 由题意得an=＋＋…＋==，所以bn===4，故Sn=b1＋b2＋b3＋…＋bn=4=4=． 3．在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan=2n－1，则数列{an}的前12项和为__78__． 【解析】 因为an＋1＋(－1)nan=2n－1，所以an＋2＋(－1)n＋1an＋1=2n＋1．当n为奇数时，an＋1－an=2n－1，an＋2＋an＋1=2n＋1，所以an＋2＋an=2；当n为偶数时，an＋1＋an=2n－1，an＋2－an＋1=2n＋1，所以an＋2＋an=4n．从而S12=(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)=2×3＋4×(2＋6＋10)=78． 4．(人A选必二P40复习巩固3)计算：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1 =____． 【解析】 当x=1时，1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1=1＋2＋3＋…＋n=．当x≠1时，记Sn=1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1 ①，①×x得xSn=x＋2x2＋3x3＋…＋nxn ②，①－②得(1－x)Sn=1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn=－nxn，可得Sn=．综上所述，1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1　= 强技提能 分组求和法 例1　(2021·新高考Ⅰ卷改编)已知数列{an}满足a1=1，an＋1 = (1) 记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}和{an}的通项公式； 【解答】 由题意知b1=a2=a1＋1=2，b2=a4=a3＋1=a2＋2＋1=5．由bn＋1=a2n＋2=a2n＋1＋1=a2n＋2＋1=a2n＋3=bn＋3，得bn＋1－bn=3，所以{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，因此bn=2＋(n－1)×3=3n－1．当n为偶数时，an=b=－1=；当n为奇数时，an=an－1＋2=b＋2=＋1=，所以an= (2) 求{an}的前20项和； 【解答】 由(1)知，数列{an}的奇数项、偶数项均是以3为公差的等差数列，且a20=b10=29，所以a2＋a4＋…＋a20==155，故a1＋a3＋a5＋…＋a19=a2－1＋a4－1＋…＋a20－1=155－10=145，故{an}的前20项和S20=155＋145=300． (3) 求{an}的前n项和Sn． 【解答】 当n为偶数时，Sn=(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)=＋=n2；当n为奇数时，Sn=(a1＋a3＋…＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－1)= ＋=．综上，Sn= (1) 求通项和前n项和时，奇数项与偶数项分别求和； (2) 求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2n－1＋a2n看作一项，求出S2n，再通过S2n－1=S2n－a2n求S2n－1． 变式1　(2025·抚顺二模)已知{an}是公差不为零的等差数列，bn=记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S3=T3，a3a5=S5． (1) 求{an}的通项公式； 【解答】 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由得即，解得所以an=a1＋(n－1)d=n． (2) 求{bn}的前n项和Tn． 【解答】 由bn=可知，当n为偶数时，Tn=(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)=(a1＋a3＋…＋an－1)＋2(b1＋b3＋…＋bn－1)=3(a1＋a3＋…＋an－1)==；当n为奇数时，Tn=Tn＋1－bn＋1=(n＋1)2－2bn=(n＋1)2－2n=．综上所述，Tn= 错位相减法 例2　(2025·济宁一模)已知数列{an}和{bn}满足a1=1，nan＋1=(n＋1)an＋1，b1＋b2＋…＋bn=2n－1． (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； 【解答】 因为a1=1，nan＋1=(n＋1)an＋1，可得=＋=＋－，即＋=＋，可知数列为常数列，则＋=a1＋1=2，所以an=2n－1．因为b1＋b2＋…＋bn=2n－1，若n=1，可得b1=1；若n≥2，则b1＋b2＋…＋bn－1=2n－1－1，两式相减得bn=2n－2n－1=2n－1，且b1=1符合上式，所以bn=2n－1． (2) 设数列的前n项和为Sn，求证：Sn＜6． 【解答】 方法一：因为=，所以Sn=＋＋＋＋…＋，Sn=＋＋＋…＋＋，两式相减得Sn=1＋＋＋＋…＋－=1＋ ... ...