1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 同步训练题（含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.2　30°，45°，60°角的三角函数值 一、单项选择题。 1．cos45°的值等于( ) A．2 B．1 C． D． 2．计算：cos 45°＋sin 30°等于( ) A．2 B． C． D． 3．若1－cosA＝0，则锐角A等于( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 4．下列式子错误的是( ) A．cos40°＝sin50° B．tan15°·tan75°＝1 C．sin225°＋cos225°＝1 D．sin60°＝2sin30° 5．如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1∶2，∠ADC＝45°，若坡面CD的长度为6米，则斜坡AB的长度为( ) A．6米 B．6米 C．8米 D．9米 6．定义一种运算： sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ， sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ. 例如：当α＝45°，β＝30°时，sin(45°＋30°)＝×＋×＝, 则sin15°的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题。 7．tan60°＝___． 8．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝_____． 9．已知∠α，∠β均为锐角，且|sinα－|＋＝0，则α＋β＝_____． 10．如图1—37所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是_____． 11．如图，已知△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标为_____． 12．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_____m． 三、解答题。 13．计算． (1) 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°； (2)sin245°＋cos30°·tan60°； (3)2cos60°＋4sin60°·tan30°－cos245°. 14．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝5,若关于x的方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sinA)x＋5sinA＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积． 15．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号) 16．如图所示的是一直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4m，AB＝8m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则该警示牌的高CD为多少米？ 17．阅读下面的材料，按要求答题∶ ①sin230°＋cos230°＝_____； ②sin245°＋cos245°＝_____； ③sin260°＋cos260°＝_____； … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝_____. (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明上述猜想； (2)已知∠A为锐角，且sin A＝，求cosA的值. 答案： 一、 1-6 CDCDB C 二、 7. 8. 30° 9. 105° 10. 5 11. (4，) 12. 4 三、 13. 解：(1) 原式＝2×＋2×＋4×1＝6 (2) 原式＝()2＋×＝＋＝2 (3) 原式＝2×＋4××－()2＝1＋2－＝ 14. 解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)＝0有两个相等的实数根，且c＝5, ∴△＝(2a)2－4(c＋b)(c－b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C＝90°． 设x1，x2是方程2x2－(10sinA)x＋5sinA＝0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2＝5sinA，x1·x2＝sinA．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2xl·x2＝(5sin A)2－2×sinA=6，解得sinA=或sinA＝－ (舍去)，∴a＝csinA＝3，b=＝4， S△ABC＝ab＝×3×4＝18. 15. 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC＝10km，∠A＝30°， ∴DC＝AC sin30°＝5km，AD＝AC cos30°＝5km. 在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5km，BC＝5km， ∵AC＋BC－(AD＋BD)＝10＋5－(5＋5)＝(5＋5－5)km. ∴汽车从A地到B地比原来少走(5＋5－5)km 16. 解：∵AM＝4m，AB＝8m，∴BM＝AM＋AB＝4 ＋8＝12(m)， 在Rt△MAD中，DM＝AM·tan ∠MAD＝4tan 45°＝4×1＝4(m)， ∴在Rt△MBC中，CM＝BM·t ... ...