难点一 动点问题 类型1 几何背景下的动点问题 1.熟练掌握基本几何图形的性质及其基本元素与性质、性质与性质之间的关系. 2.不仅能看图，更能构图和解图. 3.不仅能审题，更能思考每一个条件增加的意图，并进行针对性破解. 4.打破代数和几何方法的壁垒，能够运用代数方法解决一些几何问题. 5.强化模型意识，能够在复杂背景中快速提取模型并关联相关结论. 1.(2025·陕西)如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°.动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在 ABCD的内部或边上.当△MNP的面积最大时，DN的长为 5 . 2.【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M，N分别在边AC，BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题. 【问题解决】如图②，过点C，M分别作MN，BC的平行线，并交于点P，作射线AP. 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：AM＝MP； (2)求∠CAP的大小和线段MN长度的最小值. (1)证明：∵CP∥MN，MP∥NC， ∴四边形CPMN是平行四边形.∴MP＝NC. 又AM＝CN，∴AM＝MP. (2)解：∵AM＝MP， ∴∠CAP＝∠MPA. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠PMC＝∠ACB＝60°. ∴∠CAP＝∠MPA＝30°. ∵四边形CPMN是平行四边形， ∴MN＝PC. ∴当PC⊥AP时，PC取得最小值，此时MN取得最小值，此时PC＝. ∴线段MN长度的最小值是. 1.(2024·兰州)综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题.如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM. 【初步尝试】(1)如图①，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明. 提示：证明△ANM≌△MBD，得到MN＝DB. 证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC. ∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，∴DM＝AM，∠AMD＝120°.∴∠DMB＝60°.∴∠DMB＝∠A. 又AN＝MB，DM＝MA，∴△ANM≌△MBD(SAS).∴MN＝DB. 【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，延长AE交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由. 提示：证明AD∥BF，DB∥AF，得出四边形AFBD为平行四边形. 解：四边形AFBD为平行四边形.理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°. ∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD， ∴MA＝MD，∠DMA＝∠DMB＝90°. ∴∠MAD＝∠MDA＝45°.∴∠MAD＝∠ABF＝45°.∴AD∥BF. 在△ANM和△MBD中， ∴△ANM≌△MBD(SAS).∴∠AMN＝∠MDB. ∵AE⊥MN，∴∠AMN＋∠MAE＝90°. 又∠MDB＋∠MBD＝90°，∠AMN＝∠MDB， ∴∠MBD＝∠MAE.∴DB∥AF.∴四边形AFBD为平行四边形. 【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图③，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值. 提示：过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM，GC，BG，延长CB，过点G作GO⊥CB于点O，可证GM＝BN.当点G，M，C三点共线时，BN＋CM的值最小，最小值为CG的长. 解：BN＋CM的最小值为4. 2.(2025·南充)在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处. 【初步感知】(1)如图①，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC. 提示：连接EF，证明△EPF≌△ECF. 证明：如图①，连接EF，由折叠可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE. ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C＝90°. ∵E为BC的中点， ∴BE＝EC.∴PE ... ...
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