2026年清华大学丘成桐数学英才班选拔试题（图片版，无答案）

2026清华丘成桐数学英才班 1.给定△ABC,其中AB=4,BC=2,AC=3,设△ABC的内切圆为圆O,做圆O2与边AB,BC和圆O相切， 再做圆O3与边AB,BC和圆O2相切，…，反复如此得到一系列圆，求这些圆的面积之和. 2.是否存在Q上的不可约多项式，使得其次数为2026且恰有2024个实根（计重数）？ 3.设么-法e0品一含mao0,同：=受是行存在诺存在，求其值 4.定义图Gn如下：Gn有2n个顶点a,42,,a,4,b,,b.,Gn的边集恰为{《a,b)≤i,j≤n 求最小的正整数k,使得从G,中任选k条边得到的子图都有一个子图与G2同构， 5.求所有的正整数对a,b,满足以下条件：①5≤a,b≤99，②a,b互素，③a(b+35),ba2+35) 6.设实解析函数f()-艺a广g)-∑，满足f)=ex0(g(x) 证明：对任意正整数4afse心.- 《参考答案》 2026清华丘成桐数学英才班 设相邻的两个圆的半径分别为 n(其中1<)，则2二=sin B 1-1 1+=+，故圆的面积构成一个以 的等比数列， n+n+1 ∑S= +,将1=2 严代人6 (80+37N10z 6 384 2.【详解】构造f(x)=(x2+2(x-2)(-4)(x-4048)+2,下证f(x)满足要求. f(x)是不可约的（艾森斯坦判别法）：对于整系数多项式f(x)=anx++ax+a,如果存在一个素数P,满足 P不整除首项系数a;P整除所有其他系数an1,“,;p不整除常数项o,那么f(x)在有理数域上是不可约 的.取素数p=2检验：f(x)的首项=x06,系数为1,2{1，满足；f(x)其余各项系数都是2的倍数，满足常数 项是4=f(0)=2(-2)(-4)(4048)+2=4k+2,22a，满足，故f(x)不可约. f(x)恰好有2024个实根：令g(x)=(x2+2(x-2)-4)-4048)gr)）=0的实根为 =2k(k=12,,2024),则f(2k)=g(2k)+2=2.再考虑相邻两个根区(2k,2k+2),g(x)的符号取决于 2024个线性因子的乘积：当x∈(2k,2k+2),前面的k个因子(x-2),(x-4),,(x-2k)是正数，后面2024-k 个因子(x-(2k+2》,…是负数x2+2>0,故g(x)的符合取决于负因子的个数，即(-1)24-，也即取决于 (（- 偶数区间(k=2,4,):g(x)>0,f(x)=g(x)+2>2,函数恒正，没有实根； 奇数区间(k=1,3,)8(x)<0，函数图像形成一个向下的波谷。 对于2026这样的次数，奇数区间(2k,2k+2)中对应的g(x)<-2,f(x)的图像从2出发，向下深潜到负无穷远， 然后再回到2，由介值定理在每一个k为奇数的区间(2k,2k+2)内，函数图像穿过x两次（一去一回）