8.4.1 平 面 【课程标准要求】 1.通过学习平面的概念和平面的基本性质,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过应用平面的基本性质,培养直观想象和逻辑推理的核心素养. 知识点一 平面的概念、画法与表示 概念 几何里所说的“平面”就是从生活中的一些物体中抽象出来的,类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的 画法 我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面 当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向 表示 方法 (1)用希腊字母表示,如平面α、平面β、平面γ等. (2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示,如平面ABCD. (3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC、平面BD 平面与平面图形的区别与联系 平面是无限延展、无厚薄、无大小的一种理想的面.我们日常接触到的是平面图形,如三角形、正方形、圆等,它们有大小之分,它们都不是平面,而是平面的一部分.一般用平面图形平行四边形来表示平面. 知识点二 点、直线、平面之间的基本位置关系及其符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A α 直线l在平面α内 l α 直线l不在平面α内 l α 平面α与β相交于直线l α∩β=l 对点、直线、平面之间的基本位置关系的理解 (1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示. (2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“ ”表示. (3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“ ”或“ ”表示. 知识点三 平面的基本性质 1.与平面有关的三个基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l, B∈l,且A∈α,B∈α l α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l 2.三个推论 推论 内容 图形 作用 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 对“有且只有一个”的理解 “有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”,否则就没有表达存在性. 基础自测 1.有以下说法: ①平面是处处平的面; ②平面是无限延展的; ③平面的形状是平行四边形; ④一个平面的厚度可以是0.001 cm. 其中正确的个数为( ) [A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4 【答案】 B 【解析】 平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,①②两种说法是正确的;③④两种说法是错误的.故选B. 2.能确定一个平面的条件是( ) [A] 空间三个点 [B] 一个点和一条直线 [C] 无数个点 [D] 两条相交直线 【答案】 D 【解析】 A项,三个点可能共线,B项,点可能在直线上,C项,无数个点可能在同一条直线上.故选D. 3.(人教A版必修第二册P128练习T4改编)如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为( ) [A] A a,a α,B∈α [B] A∈a,a α,B∈α [C] A a,a∈α,B α [D] A∈a,a∈α,B∈α 【答案】 B 【解析】 点A在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a α,B∈α.故选B. 4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 . 【答案】 P∈直线DE ... ...
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