(
课件网) 方法1 构造法 PART ONE 所谓构造法，就是根据问题的结构及隐含条件构造出一种与原问题紧密相关的数学对象，从而使原问题转化并且最终得到解决的数学解题方法.构造法按构造对象的不同可分为：构造函数、构造方程（组）、构造图形等. 【例1】 （构造函数）设实数m＞0，若对任意的x≥e，不等式x2ln x－ m ≥0恒成立，则m的最大值为 . e 解析：由不等式x2ln x－m ≥0恒成立，可得x2ln x≥m ，即xln x≥ ，ln xeln x≥ ①，设f（x）＝xex（x＞0），则f'（x）＝（x ＋1）ex＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∵ ＞0，ln x＞0，由 ①式知 ≤ln x对任意的x≥e恒成立，∴只需m≤（xln x）min，设g（x） ＝xln x（x≥e），则g'（x）＝ln x＋1＞0，∴g（x）在[e，＋∞）上为 增函数，∴g（x）min＝g（e）＝e，∴m≤e.故m的最大值为e. 训练1 （1）已知a＝1010，b＝911，c＝119，则a，b，c的大小关系为 （ A ） A. c＜a＜b B. b＜a＜c C. a＜b＜c D. c＜b＜a 解析：令f（x）＝（20－x）ln x（x≥9），则f'（x）＝－ln x＋（20－x）· ＝－ln x＋ －1，显然当x≥9时，f'（x）单调递减且f'（9）＝－ln 9＋ －1＜0，故f（x）在[9，＋∞）上单调递减，f（9）＞f（10）＞f（11），即11ln 9＞10ln 10＞9ln 11，即ln 911＞ln 1010＞ln 119，可得911＞1010＞119，即c＜a＜b.故选A. A （2）已知实数a，b满足方程组则 a＋b＝ . 解析：设f（x）＝x3＋2 025x，f（x）为奇函数且在R上单调 递增，f（a－1）＝f（1－b），因此a－1＝1－b，a＋b＝2. 2 【例2】 （构造方程）已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝5，ab＋bc＋ ca＝3，则c的最大值为 . 解析：a＋b＝5－c，ab＝c2－5c＋3，构造一元二次方程t2－（5－c）t ＋c2－5c＋3＝0，则其两根为a，b，则Δ≥0，即（5－c）2－4（c2－5c ＋3）≥0，解得－1≤c≤ ，故c的最大值为 . 训练2 在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O是△ABC的外心， ＝x ＋y ，则x，y的值分别为 . 解析：由向量数量积的几何意义可得， · ＝ ＝32， · ＝ ＝ ，又 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＝｜ ｜｜ ｜ ＝20，构造方程组即 解得 ， 【例3】 （构造图形）已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： ＋ ≥ ，当且仅当 ＝ ＋ 时取等号. 证明：从题目中所给三个根式的结构特点，可以联想到所学的余弦定理， 从而可以构造出一个简单的图形，满足OA＝a，OB＝b，OC＝c， ∠AOB＝∠BOC＝60°，则可得∠AOC＝120°，AB＝ ， BC＝ ，AC＝ . 根据几何性质可知AB＋BC≥AC，所以 ＋ ≥ ，当且仅当A，B，C三点共线时等号成立，此时 ab sin 60°＋ bc sin 60°＝ ac sin 120°，即ab＋bc＝ac，故当且仅当 ＝ ＋ 时等号成立. 训练3 函数y＝ 的最大值和最小值分别为 ，－ . 解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P （ cos x， sin x）与定点Q（3，0）连线的斜率，为此 构造一个单位圆，探究单位圆上动点P（ cos x， sin x） 与定点Q（3，0）连线的斜率问题.如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大、最小值，设切点分别为R，M. 易知tan∠RQO＝tan∠MQO＝ ，所以kQR＝－tan∠RQO＝－ ，kQM＝tan∠MQO＝ ，所以－ ≤kPQ≤ .即y＝ 的最大值为 ，最小值为－ . ，－ ... ...
