8.6.1 直线与直线垂直 【课程标准要求】 1.通过求两条异面直线所成的角,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养.2.通过证明直线与直线垂直,培养逻辑推理和直观想象的核心素养. 知识点一 空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有三种 平行直线、相交直线和异面直线. 知识点二 两直线所成的角(或夹角) 平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度. 两直线所成的角(或夹角)的范围 (1)两直线平行时夹角为0°,垂直时夹角为90°. (2)范围:两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°. 知识点三 异面直线所成的角(或夹角) 1.已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b. 对异面直线所成的角(或夹角)范围的理解 (1)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成角是0°,则这两条直线平行,不可能异面. (2)异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°. 基础自测 1.垂直于同一条直线的两条直线一定( ) [A] 平行 [B] 相交 [C] 异面 [D] 以上都有可能 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( ) [A] 相交 [B] 异面 [C] 平行 [D] 垂直 3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的度数为 . 4.(人教A版必修第二册P148 T3改编)在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为 . 因为MN∥BC1∥AD1, 所以∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角,连接CD1. 因为△ACD1是等边三角形, 所以∠D1AC=60°. 题型一 异面直线所成的角 [例1] 如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小. 因为E,F,G分别是AB,CD,AC的中点, 所以GF∥AD, 且GF=AD, EG∥BC,且EG=BC, 则∠EGF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角. 因为AD=BC=2,所以EG=GF=1. 单独看△GEF的平面图, 在等腰△GEF中,过点G作GH⊥EF于点H, 在Rt△GHE中,EG=1,EH=EF=, 则sin∠EGH=, 所以∠EGH=60°,则∠EGF=2∠EGH=120°.(或者直接用余弦定理cos∠EGF==-, 所以∠EGF=120°) 所以异面直线AD,BC所成的角为∠EGF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°. 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角———用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线. (2)求———转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角. (3)结论———设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求. [变式训练] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,AA1=4, ∠A1AD=∠A1AB=60°,则异面直线AC与DC1所成角的正弦值为( ) [A] [B] [C] [D] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由AD与B1C1平行且相等得平行四边形AB1C1D,因此C1D∥AB1,所以∠B1AC是异面直线AC与直线DC1所成的角或其补角,由已知AC=2, ∠ABB1=120°,∠B1BC=60°, 由余弦定理得 AB1==2, CB1==2, cos∠B1AC==, 所以sin∠B1AC==.故选C. 题型二 直线与直线垂直的证明 [例2] 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF. 因为E是BD1的中点, 所以EG∥BC,EG=BC. 因为F是AD的中点, 且AD∥BC,AD=BC, 所以DF∥BC,DF=BC, 所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形, 所以EF∥DG, 所以∠DGD1(或其补 ... ...
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