平面向量 2026版 第 1讲 平面向量的概念 1 1. 利用正余弦定理测距 45 1. 平面向量的概念 1 2. 利用正余弦定理测高 46 2. 平行向量 (共线向量) 1 3. 角度问题 47 第 2讲 平面向量的计算 3 第 9讲 平面向量中的范围的计算 49 1. 平面向量的加法几何运算 3 1. 向量线性运算中的最值与范围问题 49 2. 平面向量的加法字母运算 5 2. 向量数量积的最值与范围问题 50 3. 平面向量的减法的几何运算 6 3. 向量模的最值问题 51 4. 平面向量的减法的代数运算 7 4. 向量夹角的最值问题 51 5. 加减的混合运算 8 第 3讲 平面向量的共线定理 10 1. 平面向量的数乘的概念 10 2. 向量的线性运算 11 第 4讲 平面向量的基本定理及坐标表示 13 1. 平面向量的基本定理 13 2. 用已知向量表示未知向量 14 3. 三点共线的向量的另一种表示 16 4. 三角形的重心 17 5. 直线上的向量的运算 18 6. 平面上的运算与坐标的关系 19 7. 已知两点坐标求向量的坐标 20 8. 模长与两点之间的距离公式 21 9. 向量平行的坐标表示 22 第 5讲 平面向量的数量积 25 1. 平面向量的数量积及运算规律 25 2. 投影向量 26 3. 两个向量的夹角 27 4. 数量积的坐标运算 28 5. 用向量的坐标表表示向量的垂直 29 第 6讲 正余弦定理 30 1. 正弦定理 30 2. 面积公式的应用 30 3. 利用正弦定理解三角形 31 4. 三角形解的个数的判断 32 5. 余弦定理 33 第 7讲 正余弦定理的应用 35 1. 利用正弦定理和余弦定理进行边角互化 35 2. 三角形形状的判定 37 3. 正余弦定理中的范围问题 38 4. 中线和角平分线 40 5. 正余弦定理在平面几何中的应用 42 第 8讲 正余弦定理的实际应用 45 平面向量的概念 1.平面向量的概念 B A a 向量的定义：既有大小又有 方向 的量叫做向量.用有向线段 AB 或 a 表示. 向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作 |AB| 或 |a| . 1.零向量：模长为 0 ，方向 任意 的向量. |0| = 0 2.单位向量：模长为 1 ，方向 任意 的向量. 若 e为单位向量，则 |e| = 1 例题分析 例〔多选〕下列说法正确的是 ( ) A. 零向量没有方向 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 零向量的长度都为 0 D. 两个单位向量的长度相等 解 CD 零向量有方向，只是方向任意，A错误；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不 一定相同，终点也不一定相同，B错误；零向量的长度都是 0；单位向量的长度都是 1，故C、D正确. 变式1〔多选〕下列命题正确的是 ( ) C. 零向量的长度都为 0 A. 平面直角坐标系上的 x轴、y轴都是向量 D. 两个单位向量的长度相等 B. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量 解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方 C. 若向量 a=AB，b=BA，则 |a| = |b| 向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是 0；单位 向量的长度都是 1，故A，C，D正确． D. 向量的大小与方向无关 解析：CD A中平面直角坐标系上的 x轴、y轴只有 变式3 下列说法中正确的是 ( C ) 方向，没有长度，不是向量，故 A错误；B中的温度都是数 A. 向量的模都是正实数 量，不是向量，故 B错误；C中由于 |a| = |AB| =AB，|b| = B. 单位向量只有一个 |BA| =BA=AB，因此有 |a| = |b|，故C正确；D中向量的 C. 向量的大小与方向无关 大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关， D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的 故D正确. 向量可以比较大小 变式2 (多选)下列说法正确的是 ( ACD ) 解析 零向量的模为 0，故A不正确；单位向量的方向 A. 向量AB与向量BA的长度相等 可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们 的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的 方向如何，它们都不能比较大小，故D ... ...
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