专题八 概率与统计 考点一 两个计数原理、排列与组合 1.（2022·新高考Ⅱ卷5题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ ） A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 解析：B 先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有＝24种，故选B. 2.（2023·全国甲卷9题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 解析：B 先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式.所以不同的安排方式共有·＝60（种）.故选B. 3.（2023·新高考Ⅱ卷3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ） A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 解析：D 由题意知，从初中部抽取学生的人数为60×＝40，从高中部抽取学生的人数为60×＝20.完成这件事情分两步：第一步，从初中部400名学生中抽取40名学生，有种方法；第二步，从高中部200名学生中抽取20名学生，有种方法.根据分步乘法计数原理，得共有·种不同的抽样结果.故选D. 4.（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）. 答案：64 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有＋＋＝64（种）. 考点二 二项式定理 5.（2020·全国Ⅰ卷8题）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 解析：C 因为（x＋y）5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝x5－ryr，所以（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为＋＝15.故选C. 6.（2020·全国Ⅲ卷14题）的展开式中常数项是240（用数字作答）. 解析：展开式的通项Tr＋1＝（x2）6－r·＝2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为24＝240. 7.（2022·新高考Ⅰ卷13题）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－28（用数字作答）. 解析：（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝x2y6，令r＝5，得T5＋1＝x3y5，所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28. 8.（2024·全国甲卷13题）（＋x）10的展开式中，各项系数中的最大值为 5 解析：（＋x）10的展开式的通项公式为Tr＋1＝（）10－rxr，则各项的系数分别为（）10，（）9，（）8，（）7，（）6，（）5，（）4，（）3，（）2，（）1，（）0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算（）5，（）4，（）3，（）2，（）1，（）0，比较可得，（）2＝5最大. 考点三 古典概型 9.（2022·新高考Ⅰ卷5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 解析：D 从7个整数中随机取2个不同的数，共有＝21（种）取法，取得的2个数互质的情况有（2，3），（2，5），（2，7），（3，4），（3，5），（3，7），（3，8），（4，5），（4，7），（5，6），（5，7），（5，8），（6，7），（7，8），共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数 ... ...
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