专题七 解析几何 考点一 直线与圆 1.（2024·全国甲卷12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（ ） A.1 B.2 C.4 D.2 解析：C 根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为2＝4，故选C. 2.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷11题）已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ） A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3 D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3 解析：ACD 设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确.易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜ －4＝1，故B不正确.过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，｜PB｜＝3，故C、D都正确.综上，选A、C、D. 3.（多选）（2021·新高考Ⅱ卷11题）已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ） A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：ABD 选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＜r.∴直线l与圆C相交，C错误.选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r.∴直线l与圆C相切，D正确.故选A、B、D. 4.（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值－2（或－或或2，填写任意一个均可）. 解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可. 5.（2022·新高考Ⅱ卷15题）设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是. 解析：法一 由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 法二 易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称的圆的方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为（3，－2），半径为1，所以≤1，解得－≤k≤－，又k＝，所以－≤≤－，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 考点二 椭圆的定义和标准方程 6.（2022·全国甲卷11题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（ ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：B 依题意得A1（－a，0），A2（ ... ...
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