专题三 三角函数与解三角形 考点一 三角函数的概念 1.（2020·全国Ⅱ卷2题）若α为第四象限角，则（ ） A.cos 2α＞0 B.cos 2α＜0 C.sin 2α＞0 D.sin 2α＜0 解析：D 法一 由题意，知－＋2kπ＜α＜2kπ（k∈Z），所以－π＋4kπ＜2α＜4kπ（k∈Z），所以cos 2α≤0或cos 2α＞0，sin 2α＜0，故选D. 法二 当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A、B、C，故选D. 2.（2022·全国甲卷8题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ） A. B. C. D. 解析：B 由题意知，△OAB是等边三角形，所以AB＝OA＝2.连接OC（图略），因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝＝，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，所以CD＝OD－OC＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B. 考点二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 3.（2021·新高考Ⅰ卷6题）若tan θ＝－2，则＝（ ） A.－ B.－ C. D. 解析：C 法一（通解） 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以或所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝sin2θ＋sin θcos θ ＝－＝.故选C. 法二（优解） 因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝＝＝＝.故选C. 4.（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝ － 解析：由tan2θ＝＝＝，得cos2θ＝.因为θ∈（0，），所以cos θ＝，则sin θ＝＝，所以sin θ－cos θ＝－. 考点三 三角恒等变换 5.（2023·新高考Ⅱ卷7题）已知α为锐角，cos α＝，则sin＝（ ） A. B. C. D. 解析：D ∵α为锐角，∴为锐角，∴sin＞0.又cos α＝1－2sin2，∴sin＝＝＝＝＝.故选D. 6.（2024·全国甲卷8题）已知＝，则tan（α＋）＝（ ） A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ 解析：B 根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B. 7.（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（ ） A.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1 解析：C 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）·sin β，整理，得sin α·cos β－sin βcos α＋cos α·cos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C. 考点四 三角函数的图象及变换 8.（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 解析：C 因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 9.（2017·全国Ⅰ卷9题）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是（ ） A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 解析：D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝s ... ...
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