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课件网) 第8章 整式乘法与因式分解 课题：完全平方公式 沪科版 七年级 数学（下） 导入新课 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. (a + b)(m + n) = + bm am + an + bn 2．计算：(1)(x＋1)2；(2)(x－1)2； 解：(1)(x＋1)2＝(x＋1)(x＋1) ＝x2＋x＋x＋1 ＝x2＋2x＋1； (2)(x－1)2＝(x－1)(x－1) ＝x2－x－x＋1 ＝x2－2x＋1； (3)(a＋b)2； (4)(a－b)2. 解：(3)(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a2＋ab＋ab＋b2 ＝a2＋2ab＋b2； (4)(a－b)2＝(a－b)(a－b) ＝a2－ab－ab＋b2 ＝a2－2ab＋b2. 探究新知 完全平方公式 (a + b)2 = _____ (a － b)2 = _____ a2 + 2ab + b2 a2 － 2ab + b2 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 观察 完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式. a b a b (a + b)2 a2 ab ab = + + (a + b)2 = a2 + 2ab +（ ） b2 a b a b (a － b)2 a2 = － + (a － b)2 = a2 －（ ）+ b2 b2 2ab 典例精析 例1 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； 解 （1）(2x + y)2 = (2x)2 + 2·(2x)y + y2 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 = 4x2 + 4xy + y2 运用公式计算，要先识别 a，b 在具体式子中分别表示什么. （2）(3a －2b)2. （2）(3a －2b)2 = (3a)2 －2·(3a)(2b) + (2b)2 ( a － b )2 = a2 － 2 a b + b2 = 9a2 －12ab + 4b2 例2 利用乘法公式计算：(- m - 2n)2. = m2 + 4mn + 4n2. = [-(m + 2n)]2 = (m + 2n)2 解： (-m - 2n)2 小提示：对于含负号较多的完全平方式，可以借助偶次幂为正数进行化简，即 (-a)2 = a2 . 看作一个整体，运用完全平方公式 (a－b)2 范例1.计算． (1)(2a－4)2； (2)(－2x＋5y)2； (3)(－3x－y)2. 解：原式＝4a2－16a＋16; 解：原式＝4x2－20xy＋25y2； 解：原式＝[－(3x＋y)]2＝(3x＋y)2＝9x2＋6xy＋y2. 仿例1.填空： (1)(－3x＋1)2＝_____； (2)(x－y)2＝_____； (3)(2m＋____)2＝4m2＋12m＋9. 9x2－6x＋1 x2－xy＋y2 3 仿例2.化简(a＋1)2－(a－1)2等于 ( ) A．2 B．4 C．4a D．2a2＋2 仿例3.下列等式成立的是 ( ) A．(x－y)2＝(y－x)2 B．(－x－y)2＝－(x＋y)2 C．(x＋y)2＝(x2＋y2) D．(x－y)3＝(y－x)3 C A 练习 1. 利用乘法公式计算： （1）(3x + 1)2 ； （2）(a－3b)2 . 解 （1）(3x + 1)2 （2）(a－3b)2 = (3x)2 + 2·(3x)·1 + 12 = 9x2 + 6x + 1 = a2 － 2a·(3b) + (3b)2 = a2 － 6ab + 9b2 （3）； （4）(－2x + 3y)2 . （3） （4）(－2x + 3y)2 = (－2x)2 +2·(－2x)·(3y)+(3y)2 = 4x2 －12xy + 9y2 =+2·(2x)·+ = +2xy+ 2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长. 3 3 （单位：cm） 设原正方形的边长为 a cm. 小正方形的边长为 (a－6) cm. a2－ (a－6)2 = 84 a2 －(a2－12a + 36) = 84 12a = 120 a = 10 答：原正方形的边长为10 cm. 3 3 （单位：cm） 完全平方公式的应用 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. 思考：怎样计算 1022，992 更简便呢？ (1) 1022； (2) 992. 解：原式 = (100－1)2 = 10000 － 200 + 1 = 9801. 例3 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 解：因为 a＋b＝7， 所以 (a＋b)2＝49. 所以 a2＋b2＋2ab＝49， 即 a2＋b2＋2×10＝49. 所以 a2＋b2＝29. 故 (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 要熟记完全平方公式哦！ 解：(1) 原式 (1) (a + b + c)2； (2) ... ...
