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课件网) 第8章 整式乘法与因式分解 课题：乘法公式的综合运用 沪科版 七年级 数学（下） 旧知回顾 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 1.完全平方公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式： 思考1： 形如(x+y+1)2这样的式子还能套用完全平方公式吗？ (x+y+1)2 若要运用完全平方公式计算，需先要识别a，b在具体式子中分别表示什么. ( a ＋b)2 ＝ a2 ＋ 2 a b＋ b2 =[(x+y)+1]2 =(x+y)2+2(x+y) +1 (x+y)2+2(x+y) +1 =x2+2xy+y2+2x+2y+1. 还有其它的组合方法吗？ (x+y+1)2 =[x+(y+1)]2 =x2+2x(y+1)+(y+1)2 方法二： =x2+2xy+2x+y2+2y+1. (x+y+1)2 =[(x+1)+y]2 方法三： =(x+1)2+2y(x+1)+y2 =x2+2x+1+2xy+2y+y2. 三项式的平方 添括号法则 完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 归纳总结 思考2： 形如(x+y+1)(x+y-1)这样的式子还能套用乘法公式吗？ (x+y+1)(x+y-1) ( a＋b) (a - b) ＝ a2 - b2 =x2+2xy+y2-1. =[(x+y)+1][(x+y)-1] =(x+y)2-1 归纳总结 两个三项式相乘 添括号法则 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 探究新知 运用乘法公式进行计算 范例1.利用乘法公式计算： (1)(a－b＋c)2； 解：原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋2(a－b)·c＋c2 ＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2; (2)(a－b)3； 解：原式＝(a－b)(a－b)2 ＝(a－b)(a2－2ab＋b2) ＝a3－3a2b＋3ab2－b3； (3)(x－y＋z)(x＋y－z). 解：原式＝[x－(y－z)][x＋(y－z)] ＝x2－(y－z)2 ＝x2－y2＋2yz－z2. 仿例1.计算： (1)若(A＋2y)(－3x＋B)＝4y2－9x2，则A＝____， B＝____； (2)若M·(3x－y)＝9x2－y2，则M＝_____． 3x 2y 3x＋y 仿例2.计算： (1)(a＋1)2(a－1)2； 解：原式＝[(a＋1)(a－1)]2 ＝(a2－1)2 ＝a4－2a2＋1； (2)(x－3)3. 解：原式＝(x－3)(x－3)2 ＝(x－3)(x2－6x＋9) ＝x3－6x2＋9x－3x2＋18x－27 ＝x3－9x2＋27x－27. 仿例3.计算： (1)(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab； 解：原式＝a2＋2ab＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2； (2)(x－2y＋3)(x＋2y－3)； 解：原式＝[x－(2y－3)]·[x＋(2y－3)] ＝x2－(2y－3)2＝x2－4y2＋12y－9； (3)(x＋y)2(x－y)2－(x2＋y2)2. 解：原式＝(x2－y2)2－(x2＋y2)2 ＝(x2－y2＋x2＋y2)(x2－y2－x2－y2)＝－4x2y2. 练习 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值. 分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解． 解：因为a2＋b2＝13，ab＝6， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25； (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1. 巧用乘法公式解决问题 范例2.已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值． 方法指导：根据已知先求出a－c的值，然后根据(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)求解． 解：因为a－b＝3，b－c＝2，所以a－c＝5. 因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝9＋4＋25＝38， 所以2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝38. 因为a2＋b2＋c2＝1，所以2－2(ab＋bc＋ca)＝38. 所以ab＋bc＋ca＝－18. 方法归纳： 运算乘法公式求值，往往涉及乘法公式的变形，并把其中某部分看作一个整体，如把a2＋b2与2ab看作一个整体，利用列方程或列方程组求解． 仿例1.已知a2－b2＝4，那么(a＋b)2(a－b)2的值为 ( ) A．32 B．16 C．8 D．4 B 仿例2.如图，一块直径为a＋b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩下的钢板面积． 解：S剩＝π·()2－π·()2－π·()2 ＝·[(a＋b)2－a2－b2] ＝(a2＋b2＋2ab－a2－b2) ＝×2ab＝ab. 答：剩下的钢板面积为ab.． 仿例3.计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1. 解：原式＝(22－1)(22＋1)(24＋ ... ...
