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课件网) 第8章 整式乘法与因式分解 课题：平方差公式 沪科版 七年级 数学（下） 旧知回顾 多项式与多项式是如何相乘的？ ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 多项式乘多项式法则 1. 由多项式乘法计算： （1）(3m + 1)(3m － 1)； （2）(x + 2y)(x －2y). 解（1）(3m + 1)(3m － 1) = 9m2 － 3m + 3m－1 = 9m2 －1 （2）(x + 2y)(x －2y) = x2 － 2xy + 2xy－4y2 = x2 －4y2 2. 请你根据上面多项式乘法的规律概括出 (a + b)(a－b) 的计算公式. (a + b)(a－b) = a2－b2 这个公式称为平方差公式，用语言如何描述？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a + b)(a－b) = a2－b2 说一说 平方差公式有什么特点. （1）左边是两个数的和乘以这两个数的差. （2）右边是两个数的平方差. （3）公式中的 a，b 既可代表具体的数，还可代表单项式或多项式. 3. 你能设计一个图形来说明上面公式吗？ a－b b b a－b 求下图中蓝色区域面积？ S = a2 － b2 = (a + b)(a－b) a + b 探究新知 平方差公式 例3 利用乘法公式计算： （1）(－x + 3)(－x－3)； （2）1 999×2 001 . 解 （1）(－x + 3)(－x－3) = (－x)2 －32 = x2 －9 （2）1 999×2 001 = (2 000－1)×(2 000 + 1) = 2 0002－12 = 3 999 999 范例1.利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4). 解：(1)原式＝(3x)2－52＝9x2－25； (2)原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2； (3)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2； (4)原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16. 仿例1.填空：(1)(x＋1)(x－1)＝_____， (x＋2y)(－x＋2y)＝_____； (2)当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2＝____． 仿例2.对于任意的整数n，能整除代数式(n＋3)(n－3)－(n＋2)(n－2)的整数是 ( ) A．4 B．3 C．－5 D．2 x2－1 4y2－x2 9 C 仿例3.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 练习 1. 利用乘法公式计算： （1）(2a + 5b)(2a－5b)； （2）. 解 （1）(2a + 5b)(2a－5b) = (2a)2－(5b)2 = 4a2－25b2 （2） = = （3）(y－2x)(－2x－y)； （4）(xy + 1)(xy－1). （3）(y－2x)(－2x－y) = (－2x + y)(－2x－y) = (－2x)2－y2 = 4x2－y2 （4）(xy + 1)(xy－1) = (xy)2－12 = x2y2－1 2. 利用乘法公式计算： （1）598 × 602； （2）9992 . 解（1）598 × 602 = (600－2) × (600 + 2) = 6002 － 22 = 359996 （2）9992 = (1000－1)2 = 10002－2×1000×1 + 12 = 998001 运用平方差公式进行简算 例4 计算： （1）(a + b + c)2 ； 解（1）(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 +2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc （2）(a－b)3. （2）(a－b)3 = (a－b)(a－b)2 = (a－b)(a2－2ab + b2) = a3－2a2b + ab2－a2b + 2ab2－b3 = a3－3a2b + 3ab2－b3 例5 利用乘法公式计算：(x + y + z)(x－y + z) . 解 (x + y + z)(x－y + z) = [(x + z) + y][(x + z)－y] = (x + z)2 －y2 = x2 +2xz + z2 －y2 范例2.利用乘法公式计算： (1)20×19； (2)13.2×12.8. 解：(1)原式＝(20＋)×(20－)＝400－＝399； (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝168.96. 仿例1.填空：(1)98×102＝_____； (2)99.8×100.2＝_____． 仿例2.若(N＋2 015)2＝123 456 789，求(N＋2 ... ...
