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课件网) 第8章 整式乘法与因式分解 课题：因式分解———提公因式法 沪科版 七年级 数学（下） 旧知回顾 在小学，我们学过整数的素因数分解. 12 =_____. 6 =_____. 8 =_____. 30 =_____. 2×3 2×2×2 2×2×3 2×3×5 类似地，在整式中，也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如， a2 + 2ab + b2 =_____, a2 －2ab + b2 =_____, a2 －b2 =_____, na + nb + nc =_____. (a + b)2 (a － b)2 (a + b)(a－b) n(a + b + c) 像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 探究新知 因式分解的概念 （1）m(a + b + c) = ma + mb + mc， ma + mb + mc = m(a + b + c)； （2）(a－7)2 = a2 －14a + 49， a2－14a + 49 = (a－7)2； （3）(x + 3)(x－3) = x2 －9， x2－9 = (x + 3)(x－3). 整式乘法 因数分解 m(a + b + c) = ma + mb + mc (a－7)2 = a2 －14a + 49 (x + 3)(x－3) = x2 －9 ma + mb + mc = m(a + b + c) a2－14a + 49 = (a－7)2 x2－9 = (x + 3)(x－3) 互为逆变形 下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ （1）分别找出多项式各项所含的相同因式. ①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc. 我们把多项式各项都含有的相同因式叫作这个多项式的公因式。 ①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc. c x b m 试一试： （2）尝试将它们写成几个因式的乘积，并与同伴进行交流. ①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc. ①ac + bc；②3x2 + x；③mb2 + nb－b；④ma + mb + mc. c(a + b) x(3x + 1) b(mb + n－1) m(a + b + c) 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。 试一试： 典例精析 例1 把下列各式分解因式： （1）4m2－8mn； （2）3ax2－6axy + 3a. 解：4m2－8mn = 4m·m－4m·2n = 4m(m－2n) 3ax2－6axy + 3a = 3a·x2－3a·2xy + 3a·1 = 3a(x2－2xy + 1) 注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充。 运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？ 2x2 + 6x3 = 2x2 ·1 + 2x2 ·3x = 2x2 (1 + 3x) ①定系数：各项系数的最大公因数； ②定字母：各项的相同字母； ③定指数：相同字母最低次幂. 思考： 例2 把下列各式分解因式： （1）2x(b + c)－3y(b + c)； （2）3n(x－2) + (2－x). 解：2x(b + c)－3y(b + c) = (b + c)(2x－ 3y) 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2－x = －(x－2) 3n(x－2) + (2－x). = 3n(x－2) － (x－2). = (x－2)(3n－1). 提公因式法因式分解的步骤 第一步，确定公因式； 第二步，确定各项的余项（某一项和公因式相同时余项是 1） 第三步，提取公因式（把多项式化为两个因式的乘积） 范例1.下列从左到右的变形中，是因式分解的有 ( ) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 仿例 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x3－x＝x(x＋1)(x－1) D 练习 1. 填空： （1）6x3－18x2 = _____(x－3)； （2）－7a2 + 21a = －7a(_____). 6x2 a－3 2. 把下列各式分解因式： （1）np－nq； （2）－x3y－x2y2 + xy. 解：（1）np－nq = n( p－q )； （2）－x3y－x2y2 + xy = －xy( x2 + xy－1). 3. 把下列各式分解因式： （1）3(a + b)2 +6(a + b)； （2）m(a－b)－n(a－b)； （3）6(x － y)3－ 3y(y － x)2； （4）mn(m－n)－m(n－m)2 ... ...
