6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【课程标准要求】 1.通过推导数量积的坐标运算培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直,进一步发展逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识点一 平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2. (2)向量垂直:a,b是非零向量,a⊥b x1x2+y1y2=0. 知识点二 平面向量的模与夹角的坐标表示 (1)向量的模:设a=(x,y),则|a|=. (2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=. (3)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 cos θ==. 向量a的单位向量的坐标表示 设a=(x,y),表示a方向上的单位向量,其坐标为(,). 基础自测 1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),则a·b的值为( ) [A] -4 [B] 7 [C] -6 [D] -8 【答案】 D 【解析】 因为a=(3,-2),b=(-2,1),所以a·b=-6-2=-8.故选D. 2.已知向量a=(2,-3),b=(m,2),且a⊥b,则m等于( ) [A] -3 [B] 3 [C] [D] - 【答案】 B 【解析】 因为a⊥b,所以a·b=2m-6=0,解得m=3.故选B. 3.(人教A版必修第二册P36练习T3改编)已知平面向量a=(2,1),b=(2,4),则向量a,b夹角的余弦值为( ) [A] [B] [C] - [D] - 【答案】 B 【解析】 因为a=(2,1),b=(2,4),所以cos
===.故选B. 4.已知向量a=(1,2),b=(4,3),则a·(2a-b)= . 【答案】 0 【解析】 因为a=(1,2),b=(4,3), 所以2a-b=(-2,1), 所以a·(2a-b)=1×(-2)+2×1=0. 题型一 向量数量积的坐标表示 [例1] (1)在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0),B(1,1),则·= . (2)在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则·= . 【答案】(1)1 (2)3 【解析】(1)如图所示,在正方形OABC中,A(0,1),C(1,0)(当然两者位置可互换,不影响最终结果), 则=(1,0),=(1,-1), 从而·=1×1+0×(-1)=1. (2)设AC,BD相交于点O, 则=+=+ =(,1)+(-,1) =(-1,2). 又=(1,2),所以·=-1+4=3. 平面向量数量积坐标运算的两条途径 一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算; 二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. [变式训练] 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则(a+b)·c等于( ) [A] 11 [B] 7 [C] 3 [D] -1 【答案】 C 【解析】以向量a的起点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示: 则a=(0,2),b=(3-1,1-0)=(2,1),c=(5-2,2-3)=(3,-1), 所以(a+b)·c=(2,3)·(3,-1)=6-3=3.故选C. 题型二 平面向量的模 [例2] 已知平面向量a=(m,2),b=(1,m),(a+b)·b=|b|2,则实数m= . 【答案】 0 【解析】 由题意可得a+b=(m+1,m+2), 故(a+b)·b=(m+1)×1+(m+2)×m=m2+3m+1,|b|2=b·b=m2+1,即m2+3m+1=m2+1,所以m=0. 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算: 利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算: 若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=. [变式训练] 已知向量a,b满足a=(1,2),b=(-2,1),则|a+b|等于( ) [A] [B] [C] 3 [D] 4 【答案】 A 【解析】 因为a+b=(-1,3),所以|a+b|==.故选A. 题型三 向量的夹角与垂直问题 [例3] (1)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(0,-1),θ∈(0,),则向量a与向量b的夹角为( ) [A] π-θ [B] -θ [C] θ [D] +θ (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x等于( ) [A] -2 [B] -1 [C] 1 [D] 2 【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)设向量a与向量b的夹角为α, 由题意,得=1,=1,a·b=-sin θ, 所以cos α=-sin θ=cos(+θ). 因为+θ∈(,π),α∈[0,π],所以α=+θ, 即向量a与向量b的夹角为+θ.故选D. (2) ... ... 