2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 (课件+学案) 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【课程标准要求】　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 知识点一　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90° 对应关系 l1∥l2 k1=k2 l1∥l2 两直线 斜率都不存在 图示 l1∥l2 k1=k2成立的前提:①两条直线的斜率存在;②l1与l2不重合. 知识点二　两条直线垂直的判定 类型 斜率存在 其中一条直线 斜率不存在 前提条件 α1≠90°,α2≠90° α1=90°,α2=0° 对应关系 l1⊥l2 k1k2=-1 l1⊥l2,k2=0 图示 (1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于0. (2)当两条直线的斜率都存在时,若k1k2≠-1,则两条直线一定不垂直. 基础自测 1.已知直线l1⊥l2,且直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为(　　) [A] - [B] [C]- [D] 【答案】 C 【解析】 由题可得·=-1,=, 所以=-.故选C. 2.(人教A版选择性必修第一册P57练习T2改编)已知A(3,5),B(m,2),C(2,8),若 AC∥BC,则m等于(　　) [A] -4 [B]4 [C]- [D] 【答案】 B 【解析】 依题意,kAC==-3,kBC=, 又AC∥BC,则kAC=kBC, 即=-3,解得m=4.故选B. 3.已知直线l1的倾斜角为30°,且直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为　　　　. 【答案】 - 【解析】 由题意可得直线l1的斜率为.由直线 l1⊥l2,得直线l2的斜率为-. 4.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1⊥l2,则a=　　　　. 【答案】 【解析】 因为直线l1的斜率为3,l1⊥l2, 所以=-, 解得a=. 题型一　两条直线平行的判定及应用 [例1] 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点 C(3,-3),D(8,-7); (2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3). 【解】 (1)设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2. 由题意知k1==-,k2==-. 因为k1=k2,kAC==-4, 所以k1≠kAC,所以A,B,C三点不共线,所以A,B,C,D四点不共线, 所以l1∥l2. (2)设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2. 由题意知k1=tan 60°=, k2==. 所以k1=k2, 所以l1∥l2或l1与l2重合. 判断两条不重合直线是否平行的步骤 [变式训练] 已知过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行,则m的值为　　　　. 【答案】 -2 【解析】 由题意得, kAB==, kCD==.由于AB∥CD, 即kAB=kCD, 所以=,所以m=-2. 题型二　两条直线垂直的判定及应用 [例2] 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3); (2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点 M(-10,40),N(10,40). 【解】 (1)设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 则k1=-10,k2==, 因为k1k2=-1,所以l1⊥l2. (2)设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 因为A,B两点的横坐标相等,所以l1的倾斜角为90°,所以l1⊥x轴. 因为k2==0,所以l2∥x轴. 所以l1⊥l2. 判断两直线是否垂直的策略 在两条直线的斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直. [变式训练] 已知△ABC为直角三角形,A(1,4),B(2,7),C(-2,y),求C点的坐标. 【解】 因为△ABC为直角三角形,A(1,4),B(2,7),所以kAB==3. 若∠A=90°,则kAB·kAC=3×=-1, 解得y=5. 若∠B=90°,则kAB·kBC=3×=-1, 解得y=. 若∠C=90°,则kBC·kAC=×=-1,无解. 所以C点坐标为(-2,5)或(-2,). 题型三　平行与垂直的综合应用 [例3] 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状. 【解】 由斜率公式,得kAB==,kCD==,kAD==-3, kBC==-, 所以kAB=kCD,又kAC==0≠kAB,说明AB与CD不重合, 所以AB∥CD. 因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行. 又kAB·kAD=×(-3)=-1, ... ...