河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期01月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D A B D B C BC BC CD 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （2）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. 圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. （2）设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式； （2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和； 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，整理得 又∵，∴，, ∴数列是首项为3、公比为3的等比数列， ， 设等差数列的公差为 ，∵ ，且、、成等比数列 ∴. ，即，即 ， 解得，∴. （2）由（1）可知 则 17．(1)证明见解析； (2)； (3)存在为靠近的处或中点，满足要求. 【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； （3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 18．(1)1； (2)①；②. 【分析】（1）直接代入公式计算得解. （2）①根据给定条件，求出的表达式，再利用错位相减求和即可；②由①的结论及已知建立恒成立的不等式，分段求解即得范围. 【详解】（1）当时，由，，得， 所以. （2）①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以. ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是. 19．(1)； (2)①证明见解析，；②证明见解析. 【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明. 【详解】（1）得 双曲线的方程为：. （2）①当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为. ②，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证.河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 20 ... ...
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