2.5.4 三角形的内切圆 课件（共32张PPT）--2025-2026学年湘教版 九年级数学下册

(课件网) 湘教版数学9年级下册培优备精做课件2.5.4三角形的内切圆第2章圆授课教师：Home .班级：九年级（--）班.时间：.情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案. A B C A B C A B C A B C 方案一 方案二 方案三 方案四 √ 合作探究 猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相_____. A B C 方案二 切 ∟ ∟ ∟ O 三角形的内切圆 画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？ 如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于_____，从而这些距离相等. 半径 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的_____与∠B的_____的___点. 平分线 平分线 交 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？ 如图，已知△ABC. 求作：与△ABC 的各边都相切的圆. 作法：（1）作∠A，∠B 的平分线AD，BE， 它们相交于点 O； （2）过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 M； （3）以点 O 为圆心，OM 为半径作圆． ⊙O 就是所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫作三角形的内心. 这个三角形叫作圆的外切三角形. 设点 O 是△ABC 的内心，由于 AB，BC，CA 都与⊙O 相切， 因此圆心 O 到 AB，BC，CA 的距离都等于圆的半径. 从而圆心 O 在△ABC 的每个内角的平分线上. 由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A = 70°，求∠BOC的度数. 解: ∵ ∠A = 70°， ∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°. ∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴ BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线， 即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB. ∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB） = 180°- × 110° = 125°. 【教材P74页】 练习 任画一个三角形，求作它的内切圆. 【教材P74页】 2. 如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D，E，F， ∠A＝ 74°，∠B ＝ 47°，求圆心角∠EOF 的度数． 【教材P74页】 解：∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F， ∴ OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB， ∴∠OEC=∠OFC=90°. ∵∠A＝ 74°，∠B＝ 47°， ∴∠C=59°， ∴∠EOF = 121°. 3. 已知等边三角形 ABC 的边长为 a， 求它的内切 圆的半径． 【教材P74页】 解：如图，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，连接OB， OC，则∠OBC＝ ∠B＝30°，∠OCB＝ ∠C＝30°. 设BC 边与⊙O 的切点为D，连接OD，则OD⊥BC，且OD 为内切圆的半径. 在Rt△OBD 与Rt△OCD 中， ∴ BD＝DC， 即 DC＝ 即内切圆的半径长为 【教材75】 解 ⊙O 的半径为 5 cm （1） 两个公共点； （2） 一个公共点； （3） 没有公共点 【教材75】 解 ∵ AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O， ∴∠C = 90°， ∠A+∠CBA = 90°. 又∵ ∠CBM = ∠A， ∴ ∠CBM+∠CBA＝ 90°，即 AB⊥ MN. 又∵ OB 是⊙O 的半径， 直线 MN 经过点 B， ∴ MN是⊙O 的切线. 【教材75】 证明 连接 BC. ∵ OC＝OB， ∠COB=60°， ∴ △OBC 为等边三角形. ∴∠OBC＝∠OCB＝60°， BC＝OC. 又∵ OC＝CA， ∴ BC＝CA. ∴ ∠CBA＝30°. ∴ ∠OBA＝90°， 即 OB⊥BA. 又∵ OB 为⊙O 的半径， 且 AB 经过点 B， ∴ AB 是⊙O 的切线. 【教材75】 解 ∵ BC 与⊙O 相切于点 B， OB 是半径， ∴ OB⊥BC， 即∠OBC＝90°. ∵∠ABC＝70°， ∴∠OBA＝20°. 又∵ OA＝OB， ∴ ∠A＝∠OBA＝20°. 【教材75】 解 连接 OA，OB. ∵ OA， OB 为⊙O 的半径，PA，PB 为⊙O 的切线，点 A，B 为切点 ... ...