第2课时 直线、圆的方程的实际应用 【课程标准要求】 1.理解并掌握直线与圆的方程在生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决直线与圆相关的问题. 知识点 直线、圆的方程的实际应用 1.解决实际问题的一般程序 仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验→给出实际问题的答案. 2.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线,将平面几何问题转化为代数问题. 第二步:通过代数运算,解决代数问题. 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 基础自测 1.y=|x|的图象和圆x2+y2=4在x轴上方所围成的图形的面积是( ) [A] [B] [C] [D]π 【答案】 D 【解析】 y=|x|的图象和圆 x2+y2=4在x轴上方所围成的图形,如图所示, 由图得,所求面积是圆 x2+y2=4面积的, 又圆x2+y2=4的半径为2, 所以y=|x|的图象和圆x2+y2=4在x轴上方所围成的图形的面积是×π×22=π.故选D. 2.(人教A版选择性必修第一册P95练习T1改编)一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降2 m后,水面宽是( ) [A]13 m [B]14 m [C]15 m [D]16 m 【答案】 D 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(-6,-2),B(6,-2), 设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0),代入A,则有m=10, 故圆的方程为x2+(y+10)2=100,令y=-4,则x=±8,故|EF|=16. 故选D. 3.设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是 . 【答案】 -2 【解析】 因为圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心坐标为C(2,-3),半径r=2, 所以圆心C到直线x-y+2=0的距离d==,则圆上的点到直线距离的最小值为d-r=-2, 即从村庄外围到小路的最短距离为-2. 题型一 圆的方程的实际应用 [例1] (人教B版选择性必修第一册P105例3)赵州桥位于我国河北省,是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,利用解析几何的方法,用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径. 【解】作出示意图如图所示,其中AB表示跨度,O为AB中点,OC为圆拱高.以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,根据已知条件有B(,0),C(0,b). 可以看出,圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上,因此可设圆心的坐标为(0,t),半径为r,则因为B,C都在圆上,所以 由此可解得r=. 建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,通过代数运算,解决几何 问题. [变式训练] 如图,某圆拱桥的平面示意图,已知圆拱跨度AB=30 m,拱高OP=5 m,建造时每间隔6 m需要用一根支柱支撑,则支柱A1P1的高度等于 m(结果保留一位小数,≈23.3). 【答案】 3.3 【解析】 设拱形所在圆的圆心为H,半径为r,由题意圆心H在y轴上,如图, 则|HA|2=|HO|2+|AO|2 r2=(r-5)2+152 r=25,所以|HO|=20, 则圆的标准方程为x2+(y+20)2=252. 由题意设P1(-9,y),y>0,代入圆的方程得(-9)2+(y+20)2=252,解得y=-20≈3.3(负值已舍去),所以支柱A1P1的高度约为 3.3 m. 题型二 直线与圆的方程的实际应用 [例2] 如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 km处,B岛在O岛的正东方向距O岛 20 km 处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1 km为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程; (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 km处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险. 【解】 (1)由题意,得A(40,40),B(20,0),设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 解得 所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)该船初始位置为点D,则D(-20,-20), 且该船航线所在直线l的斜率为1, ... ...
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