3.2.1 双曲线及其标准方程 【课程标准要求】 1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形.3.掌握双曲线的标准方程及其求法. 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 对双曲线定义中限制条件的理解 (1)当||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|时,M的轨迹不存在. (2)当||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|时,M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线. (3)当||MF1|-|MF2||=0,即|MF1|=|MF2|时,M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. (4)若将定义中的绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹为双曲线的一支. 知识点二 双曲线的标准方程 项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 焦点 坐标 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) a,b,c 的关系 c2=a2+b2 双曲线焦点位置与方程的关系 焦点跟着正项走,即若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. 基础自测 1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是( ) [A] 双曲线 [B]双曲线的一支 [C]直线 [D]一条射线 2.已知双曲线-=1的一个焦点坐标为(4,0),则m的值为( ) [A] 24 [B]25 [C]7 [D]8 所以c2=a2+b2=m+8=16,则m=8.故选D. 3.双曲线经过点(-1,0),焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),则双曲线的方程为( ) [A] -y2=1 [B]x2-=1 [C]-y2=1 [D]x2-=1 4.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是 . 即实数k的取值范围为(-∞,). 题型一 双曲线的定义 [例1] (1)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且 |PF1|=3,则 |PF2| 等于( ) [A] 11 [B]9 [C]5 [D]3 (2)已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 . ||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6. 因为|PF2|>0,所以|PF2|=9.故选B. (2)由-=1,得a=3,b=4,c=5. 由双曲线的定义和余弦定理,得 |PF1|-|PF2|=±6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°, 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 所以|PF1|·|PF2|=64, 所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×64×=16. 双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标,可以求得该点到某一焦点的距离,进而根据定义求该点到另一焦点的距离. (2)一般地,在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时,可由双曲线的定义,得|PF1|,|PF2| 的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得 |PF1|,|PF2|的关系式,从而求出|PF1|,|PF2|.但是,一般我们不直接求解出|PF1|,|PF2|,而是根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理. [变式训练] (1)已知双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2| 的值为( ) [A] 2 [B]2 [C]2 [D]2 (2)已知F1,F2是双曲线x2-=1的左、右焦点,C是双曲线上的一点,3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( ) [A] 4 [B]8 [C]24 [D]48 由题意,得a=1,c=, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8.① 又由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=2.② 联立①②,得|PF1|+|PF2|=2.故选C. (2)由题意得F1(-5,0),F2(5,0), 则|F1F2|=10.设|PF2|=x,则|PF1|=x. 由双曲线的定义知x-x=2,解得x=6,所以 |PF1|=8,|PF2|=6,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以∠F1PF2=90°.所以△PF1F2的面积是×8×6=24.故选C. 题型二 双曲线标准方程的认识 [例2] 已知-=-1,当k为何值时: (1)方程表示双曲线 (2)方程表示焦点在x轴上的双曲线 (1)要使方程表示双曲线,必须满足(|k|-3)(1-k)>0,即或解得k<-3或1
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