3.3.2 抛物线的简单几何性质 (课件+学案) 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1

第2课时　直线与抛物线的位置关系 【课程标准要求】　1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求解抛物线中的弦长问题.3.会解决直线与抛物线的综合问题. 知识点　直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个公共点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 知识拓展 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况. 基础自测 1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点,则直线l与抛物线的位置关系是(　　) [A] 相交 [B]相切 [C]相离 [D]相交或相切 【答案】 D 【解析】 当直线l与y轴平行或重合时,直线l与抛物线x2=2py(p>0)有一个公共点,此时直线l与抛物线是相交的;当直线l的斜率存在,直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点时,直线l与抛物线相切.故选D. 2.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|等于(　　) [A] 16 [B]12 [C]10 [D]8 【答案】 B 【解析】 由题意得p=6,所以|AB|=x1+x2+p=6+6=12.故选B. 3.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A为C上一点,AF中点的横坐标为2,则|AF|等于(　　) [A] 3 [B]4 [C]5 [D]6 【答案】 B 【解析】 由题意得F(1,0),准线方程为x=-1. 设A(m,n),则AF中点的横坐标为, 故=2,解得m=3. 由抛物线的定义可知|AF|=3+1=4.故选B. 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:x-2y+6=0相切,则p=　　　　. 【答案】 3 【解析】 由方程组 得y2-4py+12p=0. 因为C与l相切, 所以Δ=16p2-48p=0, 解得p=3或p=0(舍去). 题型一　弦长问题 [例1] 设直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=2x相交于A,B两点,若|AB|=2,求k的值. 【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2), 将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y, 得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0, Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0, x1+x2==,x1x2=4, 则|AB|=|x1-x2|=·==2, 化简得(1+k2)(16k2+4)=40k4, 解得k2=1(负值已舍去). 又k>0,故k=1. 求弦长问题的方法 (1)一般弦长:|AB|=|x1-x2|或 |AB|=|y1-y2|(k≠0). (2)焦点弦长:在抛物线y2=2px(p>0)中,设过焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p. [变式训练] 过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|. 【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2),易得抛物线的焦点F(1,0),p=2, 所以直线AB的方程是y=x-1. 由消去y,得x2-6x+1=0. 因为Δ>0, 所以x1+x2=6, 所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 题型二　抛物线的中点弦问题 [例2] 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q平分,求AB所在直线的方程. 【解】 设以Q为中点的弦AB的端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有=8x1,=8x2, 两式作差得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). 又y1+y2=2, 所以y1-y2=4(x1-x2), 即=4(x1≠x2), 所以kAB=4, 所以AB所在直线的方程为y-1=4(x-4), 即4x-y-15=0. 解决中点弦问题的常用方法 [变式训练] 已知直线l过点M(3,2),且与抛物线 y2=4x交于A,B两点,若M为线段AB的中点,求△AOB的面积. 【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2).因为M(3,2)为线段AB的中点, 所以x1+x2=6,y1+y2=4. 由题意,得直线AB的斜率 k====1, 所以直线AB的方程为y-2=x-3, 即y=x-1,它与x轴的交点坐标为C(1,0). 因为+=4(x1+x2)=24,y1+y2=4, 所以|y1-y2|==4.故△AOB的面积为|OC|·|y1-y2|=×1×4=2. (分值:100分) 单选每题5分,多选每题6分. 1.直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为(　　) [A]相交 [B]相切 [C]相离 [D]不能确定 【答案】 A 【解 ... ...