第2课时 空间中直线、平面的平行 【课程标准要求】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 知识点 空间中直线、平面的平行 1.线线平行的向量表示 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2. 2.线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量,n是平面α的法向量,l α则l∥α u⊥n u·n=0. 3.面面平行的向量表示 设n1 ,n2 分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2. (1)u,u1,u2,n,n1,n2都是非零向量. (2)用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合;证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;证明面面平行时,必须说明两个平面不重合. 基础自测 1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1∥l2,则( ) [A] x=6,y=15 [B]x=3,y=15 [C]x=,y= [D]x=6,y= 解得x=6,y=. 故选 D. 2.(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(2)改编)两不重合平面的法向量分别为 v1=(1,0,-1), v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是( ) [A] 平行 [B]相交不垂直 [C]垂直 [D]以上都不对 而v1=-v2,故两不重合平面的法向量平行,所以这两个平面的位置关系是平行.故选A. 3.已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α的位置关系为 . 所以u⊥v,所以l∥α或l α. 题型一 直线与直线平行 [例1] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1. 设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),A1(a,0,c). 由D1E=2EB1, 即=2, 可得E(,,c), 由BF=2FA1, 即=2, 可得F(a,,). 所以=(-,,),=(-a,b,c), 所以=. 又FE与AC1不共线, 所以EF∥AC1. 证明两直线平行的两种思路 [变式训练] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形. 不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0), E(0,0,),C1(0,1,1),F(1,1,), 所以=(-1,0,), =(-1,0,),=(0,1,),=(0,1,), 所以=,=, 所以∥,∥, 又因为F AE,F EC1, 所以AE∥FC1,EC1∥AF, 所以四边形AEC1F是平行四边形. 题型二 直线与平面平行 [例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=1,AB=2. 试问在线段CD1上是否存在一点N, 使MN∥平面ADD1A1 若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由. D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),E(,2,0),M(,1,0), 所以=(0,2,0), 连接DM,DN,假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1,=(,1,0),=(0,-2,1). 并设=λ=λ(0,-2,1)=(0,-2λ,λ) (0<λ<1), 则=+=(0,2,0)+(0,-2λ,λ)=(0,2-2λ,λ), =-=(-,1-2λ,λ), 由题意知=(0,2,0)是平面ADD1A1的一个法向量, 所以⊥, 即2(1-2λ)=0, 解得λ=. 因为MN 平面ADD1A1, 所以当N为CD1的中点时,MN∥平面ADD1A1. 证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内. (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内. (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. [变式训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,点D,E,F分别为A1B1,AA1,CD的中点, AB=AC=AA1=2.求证:EF∥平面ABC. 则A(2,0,0),C(2,0,2),A1(0,0,0),D(0,1,0),E(1,0,0),F(1,,1), 则=(0,,1), 平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0), 则·m=0, 故⊥m, 因为EF 平面ABC, 故EF∥平面ABC. 题型三 平面与平面平行 [例3] (湘教版选择性必修第二册P92例10)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF. 于是=(-,0,a),=(,,0), =(0,,a),=(,,0). 设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量, 则 取z1=1 ... ...
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