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课件网) 第三章 函数 核心微专题2 二次函数 方法 水平线段 (右减左) 竖直线段 (上减下) 斜线段 (勾股定理) 斜线段＋角 (锐角三角函数) 图象 条件 AB∥x轴 AB∥y轴 AC⊥BC AG⊥MN，∠BAG＝α，AH⊥x轴 结论 AB＝｜xB－xA｜ AB＝｜yA－yB｜ AB＝ AG＝AB·cos α＝AB· 类型1 线段问题 1.(2025成都模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物 线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝－，连接AC，BC. (1)求该抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－， ∴∴ ∴该抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2. (2)若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求MN＋MQ的最大值. 解：在y＝－x2－x＋2中，令y＝0，则－x2－x＋2＝0，解得x1＝－4，x2＝1. ∴A(－4，0)，B(1，0). 设直线AC的解析式为y＝kx＋b1(k≠0). 将A(－4，0)，C(0，2)代入直线AC的解析式，得解得 ∴直线AC的解析式为y＝x＋2. 由题意，得MN∥y轴，MQ∥x轴. 设M(－4＜m＜0)， 则N，yQ＝－m2－m＋2. 在y＝x＋2中，当y＝－m2－m＋2时， x＋2＝－m2－m＋2. 解得x＝－m2－3m， 即Q. ∴MN＝－m2－m＋2－＝－m2－2m， MQ＝－m2－3m－m＝－m2－4m. ∴MN＋MQ＝－m2－2m＋(－m2－4m) ＝－m2－6m＝－(m2＋4m)＝－(m＋2)2＋6. ∵－＜0， ∴当m＝－2时，MN＋MQ的值最大，最大值为6. 2.(2025广安模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－6，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的函数解析式； 解：将A(1，0)，B(－6，0)两点代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋5x－6. (2)P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧抛物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标. 解：如图，过P作PH∥x轴交直线BC于点H. ∵抛物线的解析式为y＝x2＋5x－6， ∴点C(0，－6)，对称轴为直线x＝－.∴OC＝6. ∵B(－6，0)，∴OB＝6. ∴OB＝OC，即△BOC是等腰直角三角形.∴∠OCB＝45°. ∵PH∥x轴，∴∠PHC＝∠OCB＝45°. ∵PE⊥BC，∴△PHE是等腰直角三角形，即HE＝PE. ∴PH＝＝＝PE. 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 则解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x－6. 设点P(p，p2＋5p－6)，则H(p，－p－6). ∴PD＝2＝－5－2p，PH＝－p－6－(p2 ＋5p－6)＝－p2－6p. ∴PD＋PE＝PD＋PH＝－5－2p＋(－p2－6p)＝－(p2＋8p)－5＝－(p＋4)2＋11. ∴当p＝－4，即P(－4，－10)时，PD＋PE的最大值为11. 方法 铅垂法 (面积作和) 铅垂法 (面积作差) 割补法 (分割求和，补形作差) 平移转化法 (同底等高) 图象 作法 过点P作PQ∥y轴交AB于点Q 过点P作PQ∥y轴交AB的延长线于点Q 连接OP 作PM∥AC，交x轴于点M，连接MC 结论 S△ABP＝S△APQ＋S△BPQ＝PQ·｜xA－xB｜ S△ABP＝S△APQ－S△BPQ＝PQ·｜xA－xB｜ S△ABP＝S△AOP＋S△BOP－S△AOB S△PAC＝S△MAC 类型2 面积问题 3.(2025德阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，其中a≠0. 将C(0，3)代入y＝a(x－1)(x－3)，解得a＝1. ∴y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3. ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. ∵对称轴为直线x＝－＝2， ∴将x＝2代入y＝x2－4x＋3，得y＝－1. ∴顶点D的坐标为(2，－1). (2)点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标. 解：∵B(3，0)，C(0，3)， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. ∵点P在抛物线上，且位于直线B ... ...
