(课件网) 第四章 数列 4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 第2课时 等差数列的性质及应用 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人 分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、 乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同， 且甲、乙、丙、丁、戊所得构成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱” 是古代的一种质量单位） 知识点 等差数列的性质 1. {an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋ q，则am＋an＝ . （1）特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，am＋an＝2ak. 2. 从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. ap＋aq 和 教材知识整理与归纳 3. 若{an}是公差为d的等差数列，则 （1）{c＋an}（c为任一常数）是公差为 的等差数列； （2）{can}（c为任一常数）是公差为 的等差数列； d cd 2d 4. 若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}（p， q是常数）是公差为 的等差数列. 思考：若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立 吗？ 不一定.如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4. 推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求 下标的和相等，且左右两侧项数相同. pd1＋qd2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：因为a2＋a9＋a10＝a2＋a7＋a12＝3a7＝6，解得a7＝2. B 等差数列的设法与求解 【例1】（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求 这三个数. 课堂互动探究与提升 （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求 这四个数. 归纳总结：设等差数列的三个技巧 （1）对于连续奇数项的等差数列，可设为…，x－d，x，x＋d，…，此时 公差为d. （2）对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，…，此时公差为2d. （3）等差数列的通项可设为an＝pn＋q. 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数 之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 等差数列的性质 【例2】（2025·梅州阶段练习）等差数列{an}中. （1）已知a3＝－2， d＝3，求an； 解：（1）∵a3＝－2，d＝3，且an＝a3＋（n－3）d， ∴an＝a3＋（n－3）d＝－2＋（n－3）×3＝3n－11. （2）若a5＝11， an＝1， d＝－2，求n的值. 解：（2）∵an＝a5＋（n－5）d，a5＝11，an＝1，d＝－2， ∴1＝11＋（n－5）×（－2）， ∴n＝10. 在等差数列{an}中. （2）已知a1＋2a8＋a15＝64，求2a9－a10. 解：（2）∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝64， ∴a8＝16， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝16. 等差数列的实际应用 B 归纳总结：等差数列的实际应用 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信 息，若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列，合理地 构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首 项、项数等关键问题. A. 24.5尺 B. 25.5尺 C. 37.5尺 D. 96尺 B A. －2 B. 4 C. 6 D. 8 解析：在等差数列{an}中，2a6＝a4＋a8＝20，解得a6＝10，公差d＝a7－a6 ＝2， 所以a4＝a6－2d＝6. C 当堂检测 A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 解析：在等差数列{an}中，a5＋a7＋a9＝3a7＝27，a7＝9， 则2a8－a9＝2（a7＋d）－（a7＋2d）＝a7＝9. D A. 8 B. 6 C. 5 D. －5 解析：因为a5＝－2，公差为3， 所以a6＝1， 所以a5＋a6＝－1， 因此a1＋a2＋…＋a10＝5（a5＋a6）＝－5. D A. 0 B. －25 C. －2 000 D. －2 025 A 解析：∵a1＋a2＋a3＝21， ∴3a2＝21， ∴a2＝7. ∵a1＝3， ... ...
