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课件网) 4.4 *数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理（数学抽象）. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题（逻辑推理）. 课标要求 清华大学数学系赵访熊教授（1908—1996）给大学一年级学生 讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学 归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事： 某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡 则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃到米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”. 情境导入 知识点一 数学归纳法 01 知识点二 用数学归纳法证明等式 02 知识点三 用数学归纳法证明不等式 03 课时作业 05 目录 知识点四 归纳—猜想—证明 04 知识点一 数学归纳法 01 PART 问题 （1）如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判 断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳 法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜 想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能 否成立，只能留给你们了. （2）在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块 倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能 倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推 理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个 字，但其结论是正确的. 【知识梳理】 1. 定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成 立，这种证明方法称为数学归纳法. 2. 证明形式：记P（n）是一个关于正整数n的命题. 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则 P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 提醒：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程 中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. 【例1】 （1）用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初 始值n0应等于（ D ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 解析：由题意，得当n＝1时，21＜（1＋1）2；当n＝2时，22＜（2＋1） 2；当n＝3时，23＜（3＋1）2；当n＝4时，24＜（4＋1）2；当n＝5时，25 ＜（5＋1）2；当n＝6时，26＞（6＋1）2，所以用数学归纳法证明不等式 2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于6. D （2）设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋ 22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝ ”的过 程中，第二步从k到k＋1应添加的项为 . 解析：当n＝k时，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋ 1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可见，从k到k＋1应添 加的项是（k＋1）2＋k2. （k＋1）2＋k2 【规律方法】 数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一 定是1； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数 的变化，弄清式子两边的构成规律； （3） ... ...
