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课件网) 第三课时 等差数列的综合应用 1.能灵活设项解等差数列（逻辑推理、数学运算）. 2.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用（数学抽象、数学建模）. 3.可由等差数列构造新数列（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 知识点一 等差数列中项的设法 01 知识点二 等差数列的实际应用 02 课时作业 03 目录 知识点一 等差数列中项的设法 01 PART 【例1】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6 倍，求这三个数； 解：设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得 所以这三个数为4，3，2. （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8， 求这四个数. 解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d）， 依题意得2a＝2且（a－3d）（a＋3d）＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 【规律方法】 等差数列的设项方法和技巧 （1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 a1，公差为d，利用已知条件建立方程（组）求出a1和d，即可确定此等差 数列的通项公式； （2）当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有 5项、7项、…，可同理设出； （3）当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时 公差为2d.若有6项、8项、…，可同理设出. 训练1 已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为 40，求这四个数. 解：设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（a，d∈R）. 可得 解得 或 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 知识点二 等差数列的实际应用 02 PART 【例2】 某公司2024年经销一种数码产品，获利200万元，从2025年 起，预计其利润每年比上一年减少20万元.按照这一规律，如果该公司 不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销此产品 将出现亏损？ 解：记2024年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利 180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{an}，且 当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损. 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋（n－ 1）d＝220－20n. 由题意知，数列{an}为递减数列，令an＜0，即an＝220－20n＜0，解 得n＞11，即从第12年起，也就是从2035年开始，该公司经销此产品将 出现亏损. 【规律方法】 解决等差数列实际应用问题的步骤 提醒：在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 训练2 《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立 春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的 日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒 种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为（ ） A. 12.5尺 B. 10.5尺 C. 15.5尺 D. 9.5尺 √ 解析： 从冬至起，日影长依次记为a1，a2，a3，…，a12，根据题 意，有a1＋a4＋a7＝37.5，整理得a4＝12.5，而a12＝4.5，设其公差为 d，则有 解得 所以冬至的日影长为 15.5尺，故选C. 提能点｜由等差数列衍生的新数列 【例3】 （1）（链接教材P18练习4题）〔多选〕若{an}是等差数列，则 下列数列为等差数列的有（ ACD ） A. {an＋an＋1} B. { } C. {an＋1－an} D. {2an} ACD 解析：设等差数列{an}的公差为d.对于A，（an＋an＋1）－（an－1＋an） ＝（an－an－1）＋（an＋1－an）＝2d（n≥2），所以{an＋an＋1}是以2d 为公差的等差数列；对于B， － ＝（an＋1－an）·（an＋an＋1） ＝d（an＋an＋1），因为d（an＋an＋1）不一定为常数，所以{ }不一定 是等差 ... ...
