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课件网) 第一课时 等差数列的前n项和公式 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n， an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个（数学运算）. 3.了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系（逻辑推理）. 课标要求 我们知道，梯形的面积公式为S＝ （a＋b）h，那么你知道怎么推导这个公式吗？这里有一个很“有趣”的方法，如下面的示意图： 将梯形“倒置”，恰好拼接为一个平行四边形，平行四边形的面积为（a＋b）h，可得到梯形的面积为S＝ （a＋b）h，你看懂了吗？ 情境导入 知识点一 等差数列的前n项和公式 01 知识点二 利用等差数列前n项和公式求基本量 02 知识点三 利用等差数列前n项和公式判断等差数列 03 课时作业 04 目录 知识点一 等差数列的前n项和公式 01 PART 问题1 （1）据说，200多年前，高斯的算术老师提出了一个问题：1＋2 ＋3＋4＋…＋100＝？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯 却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋ （50＋51）＝101×50＝5 050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什 么性质吗？ 提示：对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为（a1＋ a100）＋（a2＋a99）＋…＋（a50＋a51）＝101×50＝5 050，可以发现，高 斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51，这就是上一节学过 的性质的应用，它使不同数的求和问题转化为相同数（即101）的求和， 从而简化了运算. （2）将上述方法推广到一般，你能求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n吗？ 提示：当n是偶数时，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ ＋ ，∴Sn＝1＋2 ＋3＋…＋n＝（1＋n）＋[2＋（n－1）]＋…＋［ ＋（ ＋1）］＝ ＝ . 当n为奇数时，有Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）＋[2＋（n－1）]＋… ＋［（ －1）＋（ ＋1）］＋ ＝ ＋ ＝ ·（1＋n）＋ ＝ . ∴对任意正整数n，都有Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ . （3）你能不进行分类讨论求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n吗？ 提示：Sn＝1＋2＋3＋…＋n，Sn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1，两 式相加，得2Sn＝（1＋n）＋（1＋n）＋…＋（1＋n）＝n（1＋n）， ∴Sn＝ . ①＋②，得2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）＝ ＝n（a1＋an）. ∴Sn＝ . （4）应用（3）的方法，你能求等差数列{an}中Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 的和吗？ 提示：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ① Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1， ② 【知识梳理】 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝ na1＋ d 【例1】 （链接教材P21例6）已知数列{an}为等差数列. （1）若a1＝3，a30＝97，求S30； 解：根据等差数列前n项和公式可得，S30＝ ＝ ＝1 500. （2）若a1＝80，d＝－2，求S60； 解：根据等差数列前n项和公式可得，S60＝60×80＋ ×（－2）＝ 60×（80－59）＝1 260. （3）若a25＝12，求S49. 解：因为{an}为等差数列，所以a1＋a49＝2a25， 故S49＝ ＝49a25＝49×12＝588. 【规律方法】 当已知首项、末项和项数时，用公式Sn＝ 较为简便；当已知 首项、公差和项数时，用公式Sn＝na1＋ d较为简便.在运用公式 Sn＝ 时，注意结合等差数列的性质. 训练1 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），则数列{an}的 前9项和等于 . 解析：因为a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），所以数列{an}是首项为1，公 差为 的等差数列，所以前9项和S9＝9＋ × ＝27. 27 知识点二 利用等差数列前n项和公式求基本量 02 PART 【例2】 已知数列{an}是等差数列. （1）若a6＝10，S5＝5，求a1和Sn； 解： 解得 所以Sn＝na1＋ d＝－5n＋ ×3＝ n2－ ... ...
