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课件网) 第二课时 等比数列的判定及性质 1.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系（数学抽象）. 2.掌握等比数列的判断及证明方法（逻辑推理）. 3.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这 些性质简化运算（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，推理使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列的性质. 情境导入 知识点一 等比数列的通项公式与指数函数的关系 01 知识点二 等比数列的判定与证明 02 知识点三 等比数列的性质 03 课时作业 04 目录 知识点一 等比数列的通项公式与指数函数的关系 01 PART 问题1 （1）观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函 数有关？ 提示：由an＝a1qn－1＝ ·qn可知，当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的 第n项an是函数f（x）＝ ·qx（x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n）.因此等比数列{an} 的图象是函数f（x）＝ ·qx（x∈R）图象上的一些孤立的点. （2）有人说，等比数列的通项公式与指数函数一样，所以当q＞1时，数 列递增；0＜q＜1时，数列递减，你认为正确吗？ 提示：不对.比如q＞1的数列：－1，－2，－4，－8，…为递减数列；0＜ q＜1的数列：－ ，－ ，－ ，…为递增数列. 【知识梳理】 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 （1）当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f（x）＝ ·qx （x∈R）当x＝n时的函数值，即an＝f（n），n∈N*； （2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当 或 时，等比数列{an}为递增数列； ②当 或 时，等比数列{an}为递减数列； ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列； ④当q＜0时，等比数列{an}为 . 提醒：（1）q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特 点；（2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在 单调性. 摆动数列 【例1】 （链接教材P31练习4题）（1）根据下列通项公式能判断数列为 等比数列的是（ C ） A. an＝n B. an＝ C. an＝2－n D. an＝log2n 解析：等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构. C （2）下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述正确的是（ D ） A. q＞1 {an}为递增数列 B. {an}为递增数列 q＞1 C. 0＜q＜1 {an}为递减数列 D. q＞1 /{an}为递增数列，且{an}为递增数列 /q＞1 D 解析：若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递 减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…， 是递增数列，q＝ ∈（0，1），B、C不正确，D正确. 【规律方法】 1. 具备“an＝kqn（k≠0，q≠0）”形式，如an＝2n－1，an＝3（ ）n＋2 为等比数列. 2. 等比数列的单调性由a1和q共同决定，即a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜ 1，{an}递增；a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1，{an}递减. 训练1 （1）数列{an}是各项均为实数的等比数列，则“a2＞a1＞0”是 “数列{an}为递增数列”的（ A ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：∵a2＞a1＞0，∴a1q＞a1＞0，可得q＞1，∴数列{an}为递增数 列；反之不成立，例如数列{－ }是递增数列，但a1＝－ ＜0.∴“a2＞ a1＞0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A. A （2）若等比数列{an}是递减数列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，则公比q ＝ . 解析：∵a2＋a4＝30， ... ...
