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课件网) 第一课时 导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 （数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数研究函数的单调性（逻辑推理、数学运算）. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间（数学运算）. 课标要求 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法判断函数的单调性，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等.但是对于更复杂一些的函数的单调性，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，如何研究呢？ 情境导入 知识点一 函数的单调性与导数的关系 01 知识点二 导数与函数图象的关系 02 知识点三 利用导数求函数的单调区间 03 课时作业 04 目录 知识点一 函数的单调性与导数的关系 01 PART 问题1 （1）观察下面一次跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运 动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么 区别？如何从数学上刻画这种区别？ 提示：通过观察图象，可以发现 ①从起跳到最高点，运动员离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h （t）单调递增，相应地，v（t）＝h'（t）＞0； ②从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h （t）单调递减，相应地，v（t）＝h'（t）＜0. （2）观察下面几个图象，你认为函数的单调性与导数的正负有什么关 系？ 提示：①函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y'＝1 ＞0； ②函数y＝x2的定义域为R，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上 单调递增.而y'＝2x，当x＜0时，其导数y'＜0；当x＞0时，其导数y'＞0； 当x＝0时，其导数y'＝0； ③函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y'＝3x2，当x≠0时， 其导数y'＞0；当x＝0时，其导数y'＝0； ④函数y＝ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单 调递减，在（0，＋∞）上单调递减，而y'＝－ ，因为x≠0，所以y'＜0. 从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间（a，b） 内，如果f'（x）＞0，那么函数y＝f（x）在这个区间上单调递增；如果f' （x）＜0，那么函数y＝f（x）在这个区间上单调递减. 【知识梳理】 定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）＞0 单调递 f'（x）＜0 单调递 提醒：（1）f'（x）＞0（f'（x）＜0）是函数在（a，b）上递增（递 减）的充分条件；（2）f'（x）＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f （x）为常函数. 增 减 【例1】 （链接教材P86例1）利用导数判断下列函数的单调性： （1）f（x）＝ x3－x2＋2x－5； 解：因为f（x）＝ x3－x2＋2x－5， 所以f'（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1＞0， 所以函数f（x）＝ x3－x2＋2x－5在R上单调递增. （2）f（x）＝x－ －ln x； 解：因为f（x）＝x－ －ln x，x∈（0，＋∞）， 所以f'（x）＝1＋ － ＝ ＝ ＞0，所以f（x）＝x－ － ln x在（0，＋∞）上单调递增. （3）f（x）＝x－ex（x＞0）. 解：因为f（x）＝x－ex，x∈（0，＋∞）， 所以f'（x）＝1－ex＜0， 所以f（x）＝x－ex在（0，＋∞）上单调递减. 【规律方法】 利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数f'（x）； （3）确定f'（x）在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通 分、因式分解等变形； （4）得出结论. 训练1 （1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） ①函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减 函数.（ × ） ②函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（ × ） ③函数f（x）在区间（a，b）内有无 ... ...
